Division med dubbla bråkstreck och 2 termer

Hej, det är egentligen gymnasienivå på det här men gör det på universitetet nu första veckan.

om G(x) = (1-x)/1+x) Vad är GoG(x) (Man ska sätta in G(x) där x är alltså och får då dubbla bråksträck.)

Jag vet att man ska byta plats på täljaren och nämnaren i just nämnaren och multiplicera men det tar jättemycket plats och får ändå fel svar Rätt svar är =x

Har liknande uppgifter med samma problem. Tex. g=x/(1-x) vad är GoG? svar:x/(1-2x)

Om det bara är att byta plats och multiplicera gör jag nåt misstag som jag inte förstår vad det är, skulle vara jättesnällt om någon vet hur man ska tänka här.

Tråd flyttad från Universitet till Matte 2/Algebra. /Smutstvätt, moderator

Välkommen till Pluggakuten!

Det du frågar om är hur den sammansatta funktionen $G\circ G$ ser ut när funktionen $G$ är definierad som

$G(x) = \frac{1-x}{1+x}$ för $x \neq -1$ .

Det gäller att

$(G\circ G)(x) = \frac{1-G(x)}{1+G(x)} = \frac{1+G(x)-2G(x)}{1+G(x)} = 1-2G(x)\cdot\frac{1}{1+G(x)}.$

Du kan skriva

$G(x) = \frac{1+x-2x}{1+x} = 1-\frac{2x}{1+x}$

så $1+G(x) = 2-\frac{2x}{1+x} = \frac{2}{1+x}$ och då blir

$\frac{1}{1+G(x)} = \frac{1+x}{2}.$

Sedan är

$2G(x)\cdot\frac{1}{1+G(x)}=2\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac{1+x}{2}=1-x$

vilket ger resultatet

$(G\circ G)(x) = 1-(1-x)=x.$

Om man inte kommer på idén att göra Albikis smarta omskrivning i täljaren (det är ett standardtrick, ändå lätt att inte tänka på) kan man göra så här:

$G (x) = \frac{1 - x}{1 + x}, x \neq 1 G \circ G = \frac{1 - G (x)}{1 + G (x)} = \frac{1 - \frac{1 - x}{1 + x}}{1 + \frac{1 - x}{1 + x}} = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{1 - x}{1 + x}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{1 - x}{1 + x}} = \frac{1 + x - (1 - x)}{1 + x + 1 - x} = \frac{2 x}{2} = x$

Svara