Division med 0 odefinierat, varför? (Matematik/Allmänna diskussioner)

Nja, 2/0 är inte oändligt, däremot gäller det att kvoten av 2/x går mot oändligheten då x går mot noll. :)

Om du vill ha en mer intuitiv förklaring till varför det inte går att dividera med noll, tänk såhär: Att dividera med ett tal med ett annat innebär att dela upp täljaren i det antal delar som nämnaren anger. Om nämnaren är två, ska täljaren delas upp i två delar. Om nämnaren är hundra, ska täljaren delas upp i hundra delar. Om nämnaren är ett, ska täljaren delas upp en del (dvs. inte delas upp). Om nämnaren är noll...?

Det finns massor av fina bevis för att 1=2, och alla brukar ha ett /0 gömt någonstans i sig. Det är säkert en av anledningarna till att det är odefinerat, att man får olika svar varje gång beroende på hur man ser det.

Om vi har något tal a som inte är noll så brukar man anse som ett axiom att det finns ett tal som man betecknar $\frac{1}{a}$ som har den egenskapen att

$a \cdot \frac{1}{a} = 1$ . Jämför med två gånger en halv blir ett, tre gånger en tredjedel blir ett osv.

När vi skriver $\frac{b}{a}$ så menar vi egentligen $b \cdot \frac{1}{a}$ .

Men vad händer med talet 0?

Notera först att om vi antar att de vanliga räknereglerna gäller så måste 0 $\cdot x$ = 0 för alla tal x. Så om det fanns något tal $\frac{1}{0}$ så skulle vi ha

0 $\cdot \frac{1}{0}$ = 1,

om 1/0 skulle fungera pss 1/a då a inte är noll, men samtidigt måste vi ha, om vi vill att de vanliga räknereglerna skall gälla även för talet 1/0, att

$0 \cdot \frac{1}{0}$ = 0.

Det betyder att 1 = 0, vilket motsäger ett annat axiom som säger att 1 $\neq$ 0.

Men låt oss förkasta detta axiom och anta att 1 = 0 = talet nett = $1$ .
Låt nu x vara vilket tal som helst, vi har då

x = 1 $\cdot$ x = $1 \cdot$ x

$1$ = 0 = 0 $\cdot$ x = $1$ $\cdot$ x, vilket leder ofrånkomligen till att

x = $1$ ,

dvs nett är det enda talet som kan existera, vilket kanske inte precis ger upphov till någon användbar matematik. Men all aritmetik blir enkel förstås

$1 + 1 = 1$

$1 \cdot 1 = 1$

$- 1 = 1$

$\frac{1}{1} = 1$ .

Och tänk hur lätta matteproven skulle bli: på fråga a) svarar jag nett; på fråga b) svarar jag nett ...

Haha! Det var kul läsning. Aldrig hört begreppet "nett" innan, är det något du hittat på? En hopslagning av "noll" och "ett" som jag förstår det.

En annan sak bara - som jag kanske var otydlig med i frågeställningen. Jag undrar varför 1 = 2 inte kan bevisas genom 0/1 = 0/2. Jag känner mig dum men vill gärna få svar på frågan. För jag har hört att om 1/0 hade varit lika med 2/0 skulle likheten 1 = 2 gälla, och då 1 faktiskt inte är lika med 2 används detta som argument emot att 1/0 = 2/0.

Hoppas det var tydligare denna gången.

Det här från min gamla lärobok "matematik för gymnasiet" Nyman/emanuelsson, är tydligare kanske?

Stenenbert skrev:
Haha! Det var kul läsning. Aldrig hört begreppet "nett" innan, är det något du hittat på? En hopslagning av "noll" och "ett" som jag förstår det.
En annan sak bara - som jag kanske var otydlig med i frågeställningen. Jag undrar varför 1 = 2 inte kan bevisas genom 0/1 = 0/2. Jag känner mig dum men vill gärna få svar på frågan. För jag har hört att om 1/0 hade varit lika med 2/0 skulle likheten 1 = 2 gälla, och då 1 faktiskt inte är lika med 2 används detta som argument emot att 1/0 = 2/0.
Hoppas det var tydligare denna gången.

Hur tänker du själv att 1 = 2 inte kan bevisas genom 0/1 = 0/2?

Ett sätt är formel logik, kommer tidigt i någon universitetskurs. Men kortfattat på det här problemet:

Vi ger två påståenden, påstående (1) säger

0 / 1 = 0 / 2,

påstående (2) säger

1 = 2.

Vi vet att påstående (1) är sant och påstående (2) är falskt. Om det gick att logiskt gå från påstående (1) till påstående (2) skulle det innebära att vi hade ett sant påstående och ett falskt påstående som var lika giltiga. Det är orimligt att ett sant påstående leder till något som är falskt.

Logik är ett stort ämne som kan vara värt att läsa om.

Okej då, men hur skiljer detta från påståendet att om 1/0 var lika med 2/0 skulle 1 = 2. Detta har använts som en förklaringsmodell för varför 1/0 och 2/0 inte samtidigt kan vara lika med oändligt.

Se detta om du orkar (03.55-05.25) https://youtu.be/J2z5uzqxJNU

Resonemanget i videon är lite tunt. Påståendet är alltså att eftersom man delar både 1 och 2 med samma sak, och sen får ut samma sak i båda fall, måste även 1 och 2 vara samma sak. Så vi sätter in x=1 och x=2 i funktionen $f(x) = \frac{x}{0}$ , och eftersom f(1) = f(2), måste även 1=2.

I det resonemanget ligger ett antagande, nämligen att f(x) är vad man kallar en injektiv funktion. För injektiva funktioner gäller att olika x alltid ger olika y. T.ex. funktionen 2x. Finns det två olika tal vars "dubblering" är samma? Nix, så 2x är en injektiv funktion. Jämför med $x^2$ . Finns det två olika tal vars kvadrat är samma? Javisst, både $3^2$ och $(-3)^2$ blir 9. Så $x^2$ är inte injektiv. Funktionen 0/x som du nämner är inte heller injektiv, och därför kan man inte dra slutsatsen att 1=2 bara genom att 0/1 och 0/2 blir samma sak.

Så när föreläsaren drar slutsatsen att 1=2, då förutsätter han att x/0 är injektiv. Men han motiverar inte varför den måste vara det. Tvärtom har han väl just visat att olika x ger samma y, när han fick $\infty$ i båda fall. Så jag tycker nog hans resonemang går lite i baklås. Men poängen stämmer, nämligen att saker blir skumma om man accepterar nolldivision (se Patentera's svar), man kan bara inte motivera det fullt sådär enkelt.

Skaft skrev:
Så när föreläsaren drar slutsatsen att 1=2, då förutsätter han att x/0 är injektiv. Men han motiverar inte varför den måste vara det. Tvärtom har han väl just visat att olika x ger samma y, när han fick $\infty$ i båda fall. Så jag tycker nog hans resonemang går lite i baklås. Men poängen stämmer, nämligen att saker blir skumma om man accepterar nolldivision (se Patentera's svar), man kan bara inte motivera det fullt sådär enkelt.

Såg du hela videon?
Jag tyckte det var en väldigt bra förklaring varför vi inte kan definiera division med noll. Just det han tog upp på slutet att det går åt två håll. Både till den negativa oändligheten och till den positiva oändligheten.

Edit: Håller vi oss till gymnasienivå så tycker jag min gamla lärobok som jag citerade ovan inte är så dum. Inget bevis, men fingret på det viktiga.

ConnyN skrev:
Såg du hela videon?
Jag tyckte det var en väldigt bra förklaring varför vi inte kan definiera division med noll. Just det han tog upp på slutet att det går åt två håll. Både till den negativa oändligheten och till den positiva oändligheten.

Nej, först tittade jag bara på det intervall som TS ville visa. Nu såg jag slutet också, och jag håller med om att stycket kring undefinable och att gå från två håll var bra. Jag påstår inte att nolldivision "borde gå" eller så, det är bara resonemanget kring 1=2 jag vänder mig mot (och det var ju det som TS frågade om).

Skaft skrev:
ConnyN skrev:
Såg du hela videon?
Jag tyckte det var en väldigt bra förklaring varför vi inte kan definiera division med noll. Just det han tog upp på slutet att det går åt två håll. Både till den negativa oändligheten och till den positiva oändligheten.
Nej, först tittade jag bara på det intervall som TS ville visa. Nu såg jag slutet också, och jag håller med om att stycket kring undefinable och att gå från två håll var bra. Jag påstår inte att nolldivision "borde gå" eller så, det är bara resonemanget kring 1=2 jag vänder mig mot (och det var ju det som TS frågade om).

Ja OK. Jag tyckte påståendet att 1 = 2 inte är direkt intressant så jag trodde Stenenbert själv syftade just på att han hittat förklaringen varför det inte är så i videon?

Stenenbert skrev:
Okej då, men hur skiljer detta från påståendet att om 1/0 var lika med 2/0 skulle 1 = 2. Detta har använts som en förklaringsmodell för varför 1/0 och 2/0 inte samtidigt kan vara lika med oändligt.
Se detta om du orkar (03.55-05.25) https://youtu.be/J2z5uzqxJNU

Skillnaden är, det är olika sätt att visa varför x/0 är odefinierat. För att kunna visa att 1=2 behöver man alltid fuska, eftersom det inte är sant!

I videon fuskar föreläsaren genom att sätta

$x = \infty, d v s \frac{1}{x} = \infty$ .

Det finns inget reellt tal x som är lika med oändligheten. Oändligheten är något som används inom analysen, inte algebra. För att se skillnad på analys och algebra krävs några universitetskurser. Det går att jobba med oändligheten inom algebra men det verkar inte vara så vanligt, se wikipedia https://sv.wikipedia.org/wiki/Diskussion:O%C3%A4ndlighet .

Jag måste säga att det bästa beviset att x/0 är odefinierbart tycker jag kommer från ConnyNs gamla lärobok. Det är bara acceptera faktum att dela med noll är förbjudet. För att visa 1=2 eller 1000 = 459 måste man fuska vilket enklast görs genom att dela med noll :D

Hej Stenenbert,

Du har rätt när du skriver att $\frac{0}{1} = \frac{0}{2}$ inte medför att $1=2$ .

Det är fel att skriva att $\frac{1}{0} = \infty = \frac{2}{0}$ och dra slutsatsen att $1=2$ , eftersom symbolen $\infty$ inte är ett tal och därför inte kan behandlas som ett sådant.