divergent generaliserad integral
Från liu:
"Definition. Om den generaliserade integralen existerar kallar vi den för konvergent. I de fall
där något av gränsvärdena inte existerar kallar vi integralen för divergent."
Vad är då en generaliserad integral som är divergent? För det finns väl integraler med oändliga begränsningar som inte har ändliga gränsvärden? Är de ändå inte generaliserade integraler? Eller syftar generaliserad integral på existensen av gränsvärden och inte på oändliga begränsningar? Isåfall, betyder inte det att alla integraler med definierade begränsningar är generaliserade, eftersom de har gränsvärden i de punkterna?
Är lite förvirrad över vad som egentligen menas.
En Riemann-integral är definierad som det gemensamma gränsvärdet för över- resp undersummorna. Om ett sådant inte existerar, så är det alltså egentligen inte en integral. Om man nu ändå vill undersöka den typen av matematiska objekt, så är det praktiskt att kalla den för ”generaliserad”.
En Lebesgue-integral å andra sidan är i grund och botten definierad som ett supremum av en mängd av reella tal och skiljer sig därför från ovanst. Man har konventionen att tillåta oändligheten för att den underliggande måtteorin ska funka smidigt. I detta fallet har jag därför svårare att finna ”generaliserad” som särskilt relevant.
"Generaliserad" kan betyda att intervallet man integrerar över är oändligt, eller att det finns punkter på intervallet där integranden inte existerar (är "oändlig").
T.ex. integralen från 0 till 1 av 1/x. Eller av .
Eller integralen från 1 till oändligheten av 1/x. Eller av 1/x2.
Några av dessa existerar, andra inte.
