divergent eller konvergent integral?

Prova att ersätta termer i täljaren som gör täljaren mindre. Ersätt termer i nämnaren som gör nämnaren större. Det nya bråket är då mindre än ursprungsintegranden. 

Om du ser att integralen med den mindre integranden går mot ∞ så gör även den andra integralen det. 

Om man lite slarvigt förenklar funktionen till $f\left(x\right)\approx \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$, får vi en divergent integral. Det är inget bevis, men dels ger de oss en föraning om hur vi ska leta (det är rimligt att leta efter en divergent funktion), och dels kan vi använda den förenklingen senare. Nu kan vi försöka hitta en annan funktion, g(x), som vi vet är antingen konvergent eller divergent. I detta fall är det rimligt att leta efter en divergent funktion, och sedan använda jämförelsesatsen (se denna länk, sats 2a). Vi hittar de dominerande faktorerna, vilket är x2 i täljaren och x3 i nämnaren (Psst! Det är samma som approximationen vi gjorde nyss...). Vi har då hittat $g\left(x\right)=\frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$. Om $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=A>0$ måste f(x) vara divergent. Vilket blir gränsvärdet? 

Jag skulle börja med att göra substitutionen x=t² för att bli av med alla besvärliga rötter, partialbråksuppdela för att slippa integrera ett rationellt uttryck och sedan ta reda på primitiva funktionen.

pepparkvarn skrev:

Om man lite slarvigt förenklar funktionen till $f\left(x\right)\approx \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$, får vi en divergent integral. Det är inget bevis, men dels ger de oss en föraning om hur vi ska leta (det är rimligt att leta efter en divergent funktion), och dels kan vi använda den förenklingen senare. Nu kan vi försöka hitta en annan funktion, g(x), som vi vet är antingen konvergent eller divergent. I detta fall är det rimligt att leta efter en divergent funktion, och sedan använda jämförelsesatsen (se denna länk, sats 2a). Vi hittar de dominerande faktorerna, vilket är x2 i täljaren och x3 i nämnaren (Psst! Det är samma som approximationen vi gjorde nyss...). Vi har då hittat $g\left(x\right)=\frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$. Om $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=A>0$ måste f(x) vara divergent. Vilket blir gränsvärdet? 

men alltså 1/x är ju inte divergent då x går mot oändligheten ju?! isåfall om g(x) konvergerar måste ju f(x) också göra det, men enligt facit så divergerar ju den!

nilson99 skrev:

pepparkvarn skrev:

Om man lite slarvigt förenklar funktionen till $f\left(x\right)\approx \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$, får vi en divergent integral. Det är inget bevis, men dels ger de oss en föraning om hur vi ska leta (det är rimligt att leta efter en divergent funktion), och dels kan vi använda den förenklingen senare. Nu kan vi försöka hitta en annan funktion, g(x), som vi vet är antingen konvergent eller divergent. I detta fall är det rimligt att leta efter en divergent funktion, och sedan använda jämförelsesatsen (se denna länk, sats 2a). Vi hittar de dominerande faktorerna, vilket är x2 i täljaren och x3 i nämnaren (Psst! Det är samma som approximationen vi gjorde nyss...). Vi har då hittat $g\left(x\right)=\frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$. Om $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=A>0$ måste f(x) vara divergent. Vilket blir gränsvärdet? 

men alltså 1/x är ju inte divergent då x går mot oändligheten ju?! isåfall om g(x) konvergerar måste ju f(x) också göra det, men enligt facit så divergerar ju den!

Visst är den divergent.

Laguna skrev:

nilson99 skrev:

Visa föregående citat

pepparkvarn skrev:

Om man lite slarvigt förenklar funktionen till $f\left(x\right)\approx \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$, får vi en divergent integral. Det är inget bevis, men dels ger de oss en föraning om hur vi ska leta (det är rimligt att leta efter en divergent funktion), och dels kan vi använda den förenklingen senare. Nu kan vi försöka hitta en annan funktion, g(x), som vi vet är antingen konvergent eller divergent. I detta fall är det rimligt att leta efter en divergent funktion, och sedan använda jämförelsesatsen (se denna länk, sats 2a). Vi hittar de dominerande faktorerna, vilket är x2 i täljaren och x3 i nämnaren (Psst! Det är samma som approximationen vi gjorde nyss...). Vi har då hittat $g\left(x\right)=\frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$. Om $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=A>0$ måste f(x) vara divergent. Vilket blir gränsvärdet? 

men alltså 1/x är ju inte divergent då x går mot oändligheten ju?! isåfall om g(x) konvergerar måste ju f(x) också göra det, men enligt facit så divergerar ju den!

Visst är den divergent.

hur då?? det är väl så att $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$?

nilson99 skrev:

Laguna skrev:

Visst är den divergent.

hur då?? det är väl så att $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$?

Det stämmer, men regeln är att $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\right(x\left)\right)>0 \Rightarrow$divergens. Däremot gäller inte slutsatsen att om gränsvärdet är lika med noll, är funktionen konvergent. ${\int }_a^{\infty }\frac{1}{x}dx$ är konvergent, eftersom ${\int }_a^{\infty }\frac{1}{x}dx=\underset{M\to \infty }{\lim }\left({\int }_a^M\frac{1}{x}dx\right)=\underset{M\to \infty }{\lim }{\left[\ln x\right]}_a^M=\underset{M\to \infty }{\lim }\left(\ln \left(M\right)-\ln \left(a\right)\right)$, vilket går mot oändligheten. Däremot är Smaragdalenas förslag mindre gissningslek, och Dr. G:s förslag är en annan bra metod. Gå gärna igenom alla tre metoder! :)

nilson99 skrev:

Laguna skrev:

Visa föregående citat

nilson99 skrev:

pepparkvarn skrev:

Om man lite slarvigt förenklar funktionen till $f\left(x\right)\approx \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$, får vi en divergent integral. Det är inget bevis, men dels ger de oss en föraning om hur vi ska leta (det är rimligt att leta efter en divergent funktion), och dels kan vi använda den förenklingen senare. Nu kan vi försöka hitta en annan funktion, g(x), som vi vet är antingen konvergent eller divergent. I detta fall är det rimligt att leta efter en divergent funktion, och sedan använda jämförelsesatsen (se denna länk, sats 2a). Vi hittar de dominerande faktorerna, vilket är x2 i täljaren och x3 i nämnaren (Psst! Det är samma som approximationen vi gjorde nyss...). Vi har då hittat $g\left(x\right)=\frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}$. Om $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=A>0$ måste f(x) vara divergent. Vilket blir gränsvärdet? 

men alltså 1/x är ju inte divergent då x går mot oändligheten ju?! isåfall om g(x) konvergerar måste ju f(x) också göra det, men enligt facit så divergerar ju den!

Visst är den divergent.

hur då?? det är väl så att $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$?

Integralen av funktionen är divergent.

${\int }_2^{\infty }\frac{1}{x}dx=\underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_2^a\frac{1}{x}dx=\underset{a\to \infty }{\lim } \left(\ln \right(a)-\ln (2\left)\right)\to \infty$.

Ser du hur vi kan använda detta för att visa att din integral är divergent?

Tips, som du tidigare fått, är ju att (för $x>2$): $x^2+1+\sqrt{x}>x^2$ och $x\sqrt{x}+x^3<x^3+x^3$.