Divergent

Hur ser funktionen $f\left(x\right)=1/(x^2-1)$ ut? Har den någon asymptot? Vart börjar den gå mot oändligheten?

Primitiven till funktionen är

     $F\left(x\right)=\frac{\ln \left(1-x\right)-\ln \left(1+x\right)}{2}+C.$

Vad händer om du sätter in gränserna och beräknar $F\left(2\right)-F\left(1\right)$?

Då jag sätter in F(2) får jag $-\frac{\ln 3}{2}$ och med F(1) $-\ln$ så F(2)-F(1) skulle bli $-\frac{\ln 3}{2}-\ln =-\ln 2$

Sedan ser vi väl att kurvan kommer aldrig att skära x-axeln då den når sin högsta punkt i y-1

goljadkin skrev :

Då jag sätter in F(2) får jag $-\frac{\ln 3}{2}$ och med F(1) $-\ln$ så F(2)-F(1) skulle bli $-\frac{\ln 3}{2}-\ln =-\ln 2$

Sedan ser vi väl att kurvan kommer aldrig att skära x-axeln då den når sin högsta punkt i y-1

Nej, det är fel.

F(2) = (ln(1-2)-ln(1+2))/2 = (ln(-1)-ln(3))/2  = ln(-1/3)/2.

Hur är det med ln av negativa tal?

Den primitiva funktion som är relevant här är följden

$F\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{\ln (x - 1) - \ln (x + 1)}{2}$

Tänk på att 1/x har de primitiva funktionerna ln(|x|) + C. Nu har man att

${\int }_1^2\frac{1}{x^2-1}dx=F\left(2\right) - \underset{x\to 1}{\lim }F\left(x\right)$

Vad går gränsvärdet mot?

Ture skrev :

goljadkin skrev :

Då jag sätter in F(2) får jag $-\frac{\ln 3}{2}$ och med F(1) $-\ln$ så F(2)-F(1) skulle bli $-\frac{\ln 3}{2}-\ln =-\ln 2$

Sedan ser vi väl att kurvan kommer aldrig att skära x-axeln då den når sin högsta punkt i y-1

Nej, det är fel.

F(2) = (ln(1-2)-ln(1+2))/2 = (ln(-1)-ln(3))/2  = ln(-1/3)/2.

Hur är det med ln av negativa tal?

blir det inte -ln3/2?

Stokastisk skrev :

Den primitiva funktion som är relevant här är följden

$F\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{\ln (x-1)-\ln (x+1)}{2}$

Tänk på att 1/x har de primitiva funktionerna ln(|x|) + C. Nu har man att

${\int }_1^2\frac{1}{x^2-1}dx=F\left(2\right)-\underset{x\to 1}{\lim }F\left(x\right)$

Vad går gränsvärdet mot?

sätter vi in gränserna borde vi väl få $\frac{1}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{2}{3}$

goljadkin skrev :

Stokastisk skrev :

Den primitiva funktion som är relevant här är följden

$F\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{\ln (x-1)-\ln (x+1)}{2}$

Tänk på att 1/x har de primitiva funktionerna ln(|x|) + C. Nu har man att

${\int }_1^2\frac{1}{x^2-1}dx=F\left(2\right)-\underset{x\to 1}{\lim }F\left(x\right)$

Vad går gränsvärdet mot?

sätter vi in gränserna borde vi väl få $\frac{1}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{2}{3}$

Jag förstår inte alls var du får de där talen ifrån? Du har att

$\underset{x\to 1+}{\lim }F\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{\ln (x - 1) - \ln (x + 1)}{2}$

Så man ser att ln(x - 1) går mot -oändligheten och ln(x + 1) går mot ln(2), så därför är gränsvärdet -oändligheten. Detta innebär att integralen divergerar.