Divergenssatsen, integrationsgräns för kon
Jag försöker lösa följande uppgift:
"A conical domain with vertex (0,0,b) and axis along the z-axis has as base a disk of radius a in the xy-plane. Find the flux of "
Jag har börjat med att dela upp integralen i två: en för ytarean på konen och en för bottenskivan.
För ytarean använder jag divergenssatsen och får fram att (vilket också stämmer med facit) flödet kan beräknas med integralen:
Jag inser att integrationsgränserna för r är 0 och a, för θ är 0 och 2pi, men när jag kommer till z fastnar jag.
Jag antar att man bara inte kan sätta in b och 0 eftersom z beror på radien och theta, så jag måste hitta ett samband mellan dessa. Enligt facit är sambandet b(1-(r/a)), men jag förstå verkligen inte hur man får fram detta?
Tack på förhand!
Det var ett tag sedan jag arbetade med divergenssatsen, men jag tror jag kan svara på varför z=b(1-r/a):
Konen har z-axeln som rotationsaxel, så det är rimligt att anta att konens höjs (z-koordinat) endast beror på hur långt ut från z-axeln i rör oss (alltså vilket värde vi sätter r till). Konens högsta höjd borde rimligen vara b i punkten (0,0,b) och borde sedan minska när vi rör oss bort från z-axeln i radiell riktning (eller hur man uttrycker det). Höjden är 0 när vi nått ut till kanten, dvs då r=a. Alltså har vi att z(r) (för vi ville ju att z skulle bero på r och theta) går från b till 0 då r går från 0 till a. Då kan vi dra slutsatsen att z(r)=b(1-r/a). (pga symmetri kommer z vara oberoende av theta, så detta verkar stämma).
