Divergensen av rotationen för ett vektorfält

Vektoridentiteten att divergensen av rotationen för ett vektorfält alltid är noll har jag någon gång för några år sedan diskuterat. Jag blev trots detta igen aningen fundersam när jag repeterade kontinuummekanik och Einstein-notation där jag i en övning skulle härleda denna identitet.

Låt mig förtydliga. Divergensen av rotationen för ett vektorfält $\overrightarrow{v}$ är:

$\overrightarrow{\nabla }·\left(\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{v}\right)={\epsilon }_{ijk}\frac{{\partial }^2{v}_j}{\partial x_k\partial x_i}$

Vi får alltså medelst Levi-Civita-tensorn exempelvis denna differens:

 ${\epsilon }_{123}\frac{{\partial }^2{v}_2}{\partial x_3\partial x_1}+{\epsilon }_{321}\frac{{\partial }^2{v}_2}{\partial x_1\partial x_3}=\frac{{\partial }^2{v}_2}{\partial x_3\partial x_1}-\frac{{\partial }^2{v}_2}{\partial x_1\partial x_3}$

För att denna differens ska vara lika med noll måste funktionen $v_2(x_1, x_2, x_3)$ ha symmetriska andraderivator enligt Clairauts teorem. Varför kan man anta att komponenterna i ett vektorfält alla har symmetriska andraderivator?