Divergens/Konvergens av integral utan beräkning

Hej!

a) $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\left(x^6+x\right)^{1/3}} \leq\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}$.

b) $\displaystyle \frac{x^3+\cos^{2}{x}}{x^4-1}=\frac{x^3}{x^4-1}+\frac{\cos^{2}{x}}{x^4-1}$. 

Kommer du på några lämpliga begränsningar om $x\in\left[\pi, \infty\right)$?

moffen, jag ser inte vad du skrivit på a) för $$\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\left(x^6+x\right)^{1/3}\leq\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}$$. är det enda som visas...

b) menar du att lim x går mot inf, så går f mot noll?

Wurfur skrev:

moffen, jag ser inte vad du skrivit på a) för $$\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\left(x^6+x\right)^{1/3}\leq\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}$$. är det enda som visas...

 

b) menar du att lim x går mot inf, så går f mot noll?

Den första ska vara uppdaterad, det saknades ett }.

b) Kan du begränsa $\cos^{2}{x}$?

Det är också bra om du har en gissning/känsla för om integralen konvergerar/divergerar. Det ger dig en idé om att kanske börja leta jämförelser med större/mindre integrander som konvergerar/divergerar.

a) men hur kan du veta att (x^6 +x)^1/3 är större än x^2?

b) menar du att värdemängden för cos^2(x) är [0,1]?

man kanske kan skriva om (x^4 - 1)= (x^2 + 1)(x^2 - 1) ?

Wurfur skrev:

a) men hur kan du veta att (x^6 +x)^1/3 är större än x^2?

b) menar du att värdemängden för cos^2(x) är [0,1]?

 

man kanske kan skriva om (x^4 - 1)= (x^2 + 1)(x^2 - 1) ?

Hej!

Jag tycker att vi håller oss till a) så får du göra en ny tråd för b) (det blir så rörigt annars).

Hur som helst så kan vi ana att integralen borde vara konvergent eftersom för stora $x$ så är $\left(x^6+x\right)^{1/3} \approx x^2$. Vi vet även att integralen 

$\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2}$ är konvergent.

Så vi vill försöka hitta någon lämplig funktion $g\left(x\right)$ sådan att $g\left(x\right)\geq f\left(x\right)$ för alla $x\in\left[1,\infty\right)$, där $f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x^6+x\right)^{1/3}}$, och 

$\displaystyle \int_{1}^{\infty}g\left(x\right) < \infty$.

Vi noterar följande: 

$\left(x^2\right)=\left(x^6\right)^{1/3}\leq \left(x^6+x\right)^{1/3}$ eftersom $h(x)=x^{1/3}$ är en växande funktion.

Alltså gäller att $\frac{1}{\left(x^6+x\right)^{1/3}} \leq \frac{1}{x^2}$. Vi kan nu använda vårt ovanstående argument för att visa att integralen är konvergent.