Distributionsderivata

Det gäller att h' är derivatan om det gäller att

$\int_{-\infty}^{\infty} h'(x)\varphi(x) dx = -\int_{-\infty}^{\infty} h(x)\varphi'(x) dx$

för alla test-funktioner $\varphi$. Så du ska ha alltså ha att

$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }h\text{'}\left(x\right)\phi \left(x\right)dx=-{\int }_0^{\infty }{e}^{-t}\phi \text{'}\left(x\right)dx= \\ -{\left[e^{-t}\phi \left(x\right)\right]}_0^{\infty }-{\int }_0^{\infty }{e}^{-t}\phi \left(x\right)dx=\phi \left(0\right)-{\int }_0^{\infty }{e}^{-t}\phi \left(x\right)dx \end{gathered}$$

Nu kan du se att den funktionen i facit uppfyller kravet på att vara $h'(x)$, om man inte lägger till dirac-deltat så missar man $\varphi(0)$ termen.

mr.bennet skrev :

Hej!

Ett LSI system är 0 vid -inf .. 0 och 0 till inf är h(t) = e^-t.

Det där är inte helt korrekt uttryck. Du har angett två olika värden på f(0).

Funktionen är inte kontinuerlig så att närma sig f(0) från vänster ger inte samma värde som att närma sig f(0) från höger. Du har ett steg där, så "derivatan" blir en Diracspik.

Hej!

Två snabba frågor som kommer göra de hela mer tydligt:

1) Är det någon faktiskt skillnad mellan h(t) och f(t)? Eller är det mest att man föredrar att kalla det för h(t) vid distribution?

2) Jag förstår inte testfunktionen. Vad är en testfunktion?

Jag hittar inget S(t) i ditt svar Stokastisk. Eller är p(0) samma sak som S(t)?

--

Jag gick dock vidare och lärde mig lite annat mellan jag lät denna uppgift vara. Fann då formeln f(t)*S_a(t) = f(a)S_a(t). Alltså blir:

$$\begin{gathered} -e^{-t}\theta +S*e^{-t} \\ Där a=0, alltså e^0 =\hspace{0.17em}1. \end{gathered}$$

Förstår dock inte varifrån alla nämner testfunktion.

Testfunktionen är en funktion, ungefär vilken som helst.

Jag minns inte exakt vilka krav man ställer på en testfunktion, men alla "normala och snälla" funktioner duger.

Jag hänger fortfarande inte helt med. Alla dessa härledningar säger mig inte särskilt mycket. Facit löser det på en rad så borde finnas ett enklare sätt.

Jag fick en liknande uppgift som går enligt följande:

Definiera:

$f\left(t\right)=e^{-\left|t\right|}$.

Beräkna f' och f'' (i distributionsmening).

Lösningsgången är enligt följande:

$$\begin{gathered} f´\left(t\right) = e^t, t<0 \\ f´\left(t\right) = e^{-t}, t>0 \\ --> \\ f\text{'}\text{'}\left(t\right) = e^{-\left|t\right|} - 2*S\left(t\right) \end{gathered}$$

Det som rör till det är att i f¨(t) ser jag inte alls att vi har $\theta$ medan vi i andraderivatan helt plötsligt har -2S.

Om jag sätter: $f\left(t\right)=e^t\theta \left(t\right)$

Så får jag ju att:

$f\text{'}\left(t\right)=e^t\theta \left(t\right)+e^{t}S\left(t\right)$

Och:

$f\text{'}\text{'}\left(t\right)=e^t\theta \left(t\right)-e^{t}S\left(t\right)-e^{t}S\left(t\right) = e^t\theta \left(t\right)-2e^{t}S\left(t\right)$

Vilket enligt facit för f'' är rätt. Men för f' är det fel.

Min fråga är alltså: Finns det en mer handfast metod som inte inenbär härledningen? Delfråga: Hur får facit fram -2S(t) i f'' men har inte alls med $\theta$ i f'.