Distansen mellan två vektorer
Låt || · ||v vara en norm över vektorrummet V, och definiera den skalära funktionen d(x,y) = ||x - y||v (avståndet mellan x och y) för varje ordnade par av vektorer. Visa att d(x,y) 0.
Jag har försökt så här långt: d(x,y) = ||x - y|| = [||x||² - 2<x,y>+||y||²]1/2. Men hur ska man visa att
||x||² +||y||² ≥ 2<x,y> ?
Det står inte att V är euklidiskt, så vi kan. inte förutsätta att det finns en skalärprodukt. Däremot gäller att en norm är icke-negativ enligt sin definition. Beviset blir då trivialt.
Tomten skrev:Det står inte att V är euklidiskt, så vi kan. inte förutsätta att det finns en skalärprodukt. Däremot gäller att en norm är icke-negativ enligt sin definition. Beviset blir då trivialt.
Kan du förklara det här "Det står inte att V är euklidiskt, så vi kan inte förutsätta att det finns en skalärprodukt." lite mer? Menar du om vektorrummet inte är euklidiskt då får vi inte förutsätta att ?
Svaret på din fråga är ja. Ett Euklidiskt rum är ett rum där det finns en skalärprodukt (även kallad ”inre produkt”). Reglerna för skalärprodukt verkar du bekant med så det fördjupar vi inte vidare här. En av reglerna är emellertid att (v,v)>=0 för alla v i rummet. Skalärprodukten kan ge upphov till en Norm på sätt som du själv beskrivit ovan. Men en Norm MÅSTE inte vara genererad av en skalärprodukt. Följande axiom räcker för att definiera en Norm ||•|| på ett vektorrum V:
1. ||v||>=0
2. ||x+y||<=||x||+||y|| (Triangelolikheten)
3. ||kv||=|k|•||v|| där k är en skalär
4. ||v||=0 <==> x=0
Exempel: Låt I(f) betyda integralen av f på intervallet [0,1] och betrakta vektorrummet V av alla kontinuerliga fkner på detta intervall. Sätt ||f||=I(|f|) Då är ||•|| en norm som inte genereras av någon skalärprodukt. (Den s k L1-normen).
