Distans från punkt till plan.

Säg att vi har:
En punkt Q : (3, 1, 1)
Ett plan M: x-2y+z = 3

Bestäm avståndet mellan P och M.
Hitta även den punkt på M som ligger närmast P.

Då tänker jag att man ska ta en punkt i planet, t.ex. punkten P (3, 0, 0)

Sedan beräkna vektorn $\overset{⇀}{P Q}$ : (0, 1, 1)

Projicera sedan vektorn $\overset{⇀}{P Q}$ på normalen $\overset{⇀}{n}$ : (1, -2, 1)

$\frac{\overset{⇀}{P Q} \cdot \overset{⇀}{n}}{| | n | |^{2}} * \overset{⇀}{n} \Rightarrow (- \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{6})$ borde vektorn som går från planet till punkten P, eller?

Längden borde alltså bli $\sqrt{6}$

För att hitta den punkt M som ligger närmast P borde jag alltså ta
punkten P + (PQ - projektionen på normalen)

(3, 0, 0) + ((0, 1, 1) - (-1/6, 1/3, -1/6))
(3, 0, 0) + (1/6, 2/3, 7/6)
(19/6, 2/3, 7/6)

Är det rätt?
Hur ska man tänka när man gör sånt här? Blir normalens riktning alltid åt samma håll som det man projicerar på den? Om jag hade projicerat från punkten Q till punkten P i planet hade jag då kunnat ställa mig på punkten å gå den projicerade vektorn för att hamna på samma punkt i planet?

Tack på förhand! :)

Ja, det blir rätt.

Jag brukar istället utgå från punkten och gå i normalens riktning till dess att jag är i planet (d.v.s till dess att planets ekvation är uppfylld.)

Jag har insett att det finns lika många alternativ att lösa sätt i Linjär Algebra som det finns uppgifter i boken. Men för att öka min förståelse för hur projicering fungerar..
Om jag projicerar vektorn v på u så blir resultatvektorn i samma riktning som u?

En annan sak, vad är *egentligen* en bas?
Är det jämförligt med t.ex. språk i världen? Flera olika sätt att säga precis samma sak?
Nollrum är alla sätt att säga noll på i det språket?

Ja. Projektionen av v på u är den del av v som pekar i u:s riktning.

En bas är ett sätt att beskriva en godtycklig vektor som en linjärkombination av några utvalda vektorer. Vissa tycker det är snyggast att lösa problem utan att använda sig av en bas. Ett smart val av bas gör många problem enklare.

Nollrum till matrisen A är de vektorer x som avbildas på nollvektorn, Ax = 0.

Tigster skrev :
$\frac{\overset{⇀}{P Q} \cdot \overset{⇀}{n}}{| | n | |^{2}} * \overset{⇀}{n} \Rightarrow (- \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{6})$ borde vektorn som går från planet till punkten P, eller?
Längden borde alltså bli $\sqrt{6}$

Mm, tvångsmässig rättningsreflex; du menar att avståndet mellan punkten och planet är $\frac{1}{\sqrt{6}}$ .

Svara

Visa senaste svar