Diskret slumpvariabel

Hej!

Börja med att beräkna $P\left(X=3\right)$. Därefter kommer du ihåg att fördelningsfunktionen är $F_X\left(x\right)=P\left(X\leq x\right)$.

Därefter beräknar du väntevärdet genom $\mathbb{E}\left(X\right)=\sum_{i} i\cdot P\left(X=i\right)$, så att du senare kan beräkna variansen.

Det verkar dock udda att det står att $P\left(X=4\right)=0$, då $0$ vanligtvis inte räknas som positiv utan icke-negativ?

Alltså blir $P(X=3)=P(X< 4)="">$

Soderstrom skrev:

Alltså blir $P(X=3)=P(X< 4)="">$

Ja, $P\left(X=3\right)=0.5$. Notera dock att $P\left(X=3\right)=P\left(X<4\right)$ inte gäller allmänt, utan jag skulle nog föredra om du skrev det som $P\left(X=3\right)=1-\left(P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=4\right)\right)$.

Kan du nu beräkna $F_X\left(x\right)$? Du behöver typ bara bry dig om vad som händer vid brytpunkterna $x\in\left\{1,2,3,4\right\}$.

$F_X (x)$ bör bli typ en funktion med olika värden för olika olikheter? Och sen är skissen bara 'linjer'?

Soderstrom skrev:

$F_X (x)$ bör bli typ en funktion med olika värden för olika olikheter? Och sen är skissen bara 'linjer'?

Du har att $F_X\left(x\right)=0$ för $x<1$, eftersom $P\left(X<1\right)=0$ då $X$ endast kan anta värdena $1, 2, 3$ och $4$. Du får ett hopp i grafen vid $x=1$ eftersom $F_X\left(1\right)=P\left(X\leq 1\right)=P\left(X=1\right)=0.1$. Sen är $F_X\left(x\right)=0.1$ för $1\leq x <2$. Vad händer vid $x=2$?

Om jag förstått det rätt så måste detta stämma?

Nej tyvärr inte. Exempelvis så gäller att i $x=2$ är $F_X\left(2\right)=P\left(X\leq 2\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=0.1+0.4=0.5$. Dessutom så verkar du inte ha fyllt i någon "ring" vid $x=2$ osv. Är $F_X\left(2\right)$ odefinierad? ;)

Dessutom kan man alltid dubbelkolla så att $F_X\left(x\right)=1$ för tillräckligt stora $x$, det gäller ju att $\lim_{x\to +\infty}F_X\left(x\right)=1$, dvs. sannolikheten att $X$ "är mindre än $+\infty$" är alltså $1$.

En sista kommentar är att förtydliga att $F_X\left(x\right)=0$ för alla $x<>$.

Men du är nära och det stämmer att $F_X\left(x\right)$ får ett sådant trappliknande utseende.

Då ska detta stämma alltså? :)

Är $F_X(2)$ odefinierad? ;)

Haha nej, inte alls :)

Nej det ser ut att vara ungefär samma fel som förut?

Du bör ha $F_X\left(x\right)=0$ för $x<>$, sen $F_X\left(x\right)=0.1$ för $1\leq x <>$, $F_X\left(x\right)=0.1+0.4=0.5$ för $2 \leq x <>$,  $F_X\left(x\right)=0.1+0.4+0.5=1$ för $3 \leq x<>$, och till sist $F_X\left(x\right)=0.1+0.4+0.5+0=1$ för $x \geq 4$.

Förstår du varför? Du ska rita grafen till fördelningsfunktionen, alltså får du för varje $x$ beräkna sannolikheten att $X\leq x$. $F_X$ kan alltså inte vara avtagande (som du verkar ha fått det till vid $x=4$).  Nu var det också aningen överflödigt att beräkna $F_X\left(x\right)$ för $x> 3$ eftersom vi redan hade beräknat $F_X\left(3\right)=1$, och $F_X$ är icke-avtagande och begränsad uppåt av $x=1$. När du ska rita grafen var också tydlig med värdena på $F_X$ i punkterna där funktionen inte är kontinuerlig.

Kul notering kanske är att $F_X$ är höger-kontinuerlig för diskreta fördelningar.

Sådär? :D Känner mig ny i området, men intressant att jag inte fick till det än!

Kanske en notering och det är att $för x>4$ är funktionens värde $1$.

Soderstrom skrev:

Visa spoiler

Sådär? :D Känner mig ny i området, men intressant att jag inte fick till det än!

Kanske en notering och det är att $för x>4$ är funktionens värde $1$.

Japp det ser bättre ut. Min enda kommentar är att du måste vara noggrann med vilket värde $F_X$ har i punkterna där den inte är kontinuerlig, så du kan med fördel använda dig av "tomma och ifyllda ringar" för att visualisera det i grafen. Annars är jag nöjd.

OK! Tack så mycket Moffen :)

Tillägg: 17 mar 2022 11:54

Kom på att jag har en liten del kvar att räkna :D

Låt $X$ ha normalfördelningen $N(1, 9)$. Beräkna $P(X^2 <>$

Om jag tänker rätt så borde detta bli: $P(X^2 < 2)=""><><\sqrt{2}= \phi(\sqrt{2})-\phi(-\sqrt{2})="">$

Eller?

Det här är inte samma uppgift, har du klurat ut att beräkna variansen av $X$ så som det står i original posten?

Det du har skrivit gäller inte riktigt, det gäller att $\phi\left(x\right)$ endast är aktuell för standard normalfördelning, dvs. om $Z\sim N\left(0,1\right)$ så gäller att $P\left(a\leq Z \leq b\right)=\phi\left(b\right)-\phi\left(a\right)$.

Du behöver alltså se till så att en transformation av $X$, säg $Y=\frac{X-c}{d}\sim N\left(0,1\right)$, är standard normalfördelad för att använda $\phi$.

Om $X\sim N\left(1, 9\right)$ så gäller att $Y=\frac{X-1}{3}\sim N\left(0,1\right)$ eftersom $\mathbb{E}\left(Y\right)=\frac{1-1}{3}=0$ samt $Var\left(\frac{X-1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot Var\left(X-1\right)=\frac{1}{9}\cdot 9=1$. Sen behövs ett argument om att $Y$ inte bara har rätt väntevärde och varians, utan även är normalfördelad, men det kan du nog ta för givet här.

Är du säker på att a) stämmer? Vad är motivationen?

JohanB skrev:

Är du säker på att a) stämmer? Vad är motivationen?

Min motivering är:

Från $0$ till $10$ har vi ett heltal, nämligen $4$.
Från $10$ till $100$ har vi ${14,24,34,...94}$, $10$ st.
Från $100$ till $199$ har vi ${104,114,124,...,194}$, $10$ st.
Från $200$ till $299$ har vi samma mönster.
Alltså blir det $10\cdot 9$ stycken heltal som innehåller minst en fyra, i de tresiffriga heltal från $100$ till $999$.

Totalt: $1+10+90=101 \ heltal$ dvs sannolikheten blir: $\displaystyle \frac{101}{1000}$

Hade fel från början. Tack JohanF :))

Edit: Blir fel igen!

Min slutgiltiga motivering blir detta:

Tillägg: 17 mar 2022 16:20

Jag missade en liten detalj. Svaret är 300 st, visst?
Edit: Nope, jag får det till 271 st heltal med minst en fyra nu. 

271 låter hyfsat rimligt.

När man har frågor i stil med denna där det är en eller fler fyror så kan ett elegant sätt vara att titta på komplementhändelsen, dvs vad är sannolikheten att vi inte har några 4:or alls. Prova att beräkna den sannolikheten ( vi kan t.ex. börja med sannolikheten att första siffran inte är en fyra, talet 73 ser vi då som 073, dvs första siffran är 0).

Det var så pinsamt att jag missade de enklaste misstagen man kan göra.

Hur jag kom fram till svaret var genom att jag tänkte på talpositionen. Exempelvis tänkte jag att från 0 till 99 så förekommer det en 4:a på entalet 9 gånger och på tiotalet 10 gånger, (beror på hur man ser på talet 44) :)

Detta mönster förkommer 9 gånger i heltalen från 0 till 999. Så 9*19=171.

Specialfallet blir då i intervallet från 400-499, där vi har 100 tal med minst en 4:a.

Så 171+100=271 och därav blir sannolikheten 271/1000. :')

Man kan också tänka sig att sannolikheten att första siffran INTE är en fyra är 9/10, att andra inte är en fyra är 9/10 och samma på sista.

Sannolikheten att ingen siffra är en fyra är alltså (9/10)^3. Sannolikheten att minst en siffra är en fyra är då 1-(9/10)^3=1-729/1000=271/1000.