diskret matte- injektiv, surjektiv, bijektiv

Det känns som att du inte riktigt förstått vad subjektiv är. Exempel:

 $f(x)=x^2, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ surjektiv? Varför, varför inte? 

$f(x)=x^2, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+$ surjective? Varför, varför inte?

woozah skrev :

Det känns som att du inte riktigt förstått vad subjektiv är. Exempel:

 $f(x)=x^2, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ surjektiv? Varför, varför inte? 

$f(x)=x^2, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+$ surjective? Varför, varför inte?

Det gör jag kanske inte men förstår fortfarande inte hur jag ska göra :/

Om du inte förstår vad som menas med surjektiv är det inte konstigt att du inte klarar uppgiften. Ta reda på det!

smaragdalena skrev :

Om du inte förstår vad som menas med surjektiv är det inte konstigt att du inte klarar uppgiften. Ta reda på det!

Jag har suttit uppe hela natten och försökt förstå så det är ju det jag behöver hjälp med här, speciellt när det ska hålla sig inom ett intervall... om jag hade förstått det så skulle jag inte fråga om hjälp. Kan du förklara det på ett enklare sätt så att jag förstår? :)

Om jag har förstått rätt så ska det för varje y finnas minst ett x, men jag trodde att det var det jag gjorde, vad har jag gjort för fel? 

En funktion är injektiv om det bara finns ett x-värde som ger varje y-värde. 

En funktion är surjektiv om det finns alla y-värden kan nås från något x-värde.

Funktionen $x^2$ är inte injektiv, om alla x-värden är tillåtna, eftersom t ex både x = 1 och x = -1 ger y-värdet 1. Om man bara har med alla icke-negativa x-värden i definitionsmängden, är den injektiv.

Funktionen $x^2$ (definitionsmängd: alla reella tal) är inte surjektiv, om alla y-värden är tillåtna, eftersom det (t ex) inte finns något x-värde som ger y-värdet -4. Om man bara har med alla icke-negativa y-värden i värdemängden, är den surjektiv.

Om både definitionsmängden och värdemängden är "alla icke-negativa reella tal" så är funktionen $x^2$ bijektiv.

smaragdalena skrev :

En funktion är injektiv om det bara finns ett x-värde som ger varje y-värde. 

En funktion är surjektiv om det finns alla y-värden kan nås från något x-värde.

Funktionen $x^2$ är inte injektiv, om alla x-värden är tillåtna, eftersom t ex både x = 1 och x = -1 ger y-värdet 1. Om man bara har med alla icke-negativa x-värden i definitionsmängden, är den injektiv.

Funktionen $x^2$ (definitionsmängd: alla reella tal) är inte surjektiv, om alla y-värden är tillåtna, eftersom det (t ex) inte finns något x-värde som ger y-värdet -4. Om man bara har med alla icke-negativa y-värden i värdemängden, är den surjektiv.

Om både definitionsmängden och värdemängden är "alla icke-negativa reella tal" så är funktionen $x^2$ bijektiv.

Tack:) Ändrade lite nu, är det här rätt eller är det fortfarande fel?

Man brukar skilja på värdemängd och målmängd. En givet en definitionsmängd är värdemängden vad den är. T.ex om f(x) = sin(x) och definitionsmängden är alla reella x så är värdemängden [-1, 1].

Målmängden bestämmer man själv. Vi kan ta [-2, 1]. f(x) är då inte surjektiv från definitionsmängd till målmängd eftersom det t.ex inte finns x så att f(x) = 1.4.

Tar man målmängd == värdemängd blir funktionen automatiskt surjektiv. 

Så då borde jag ha använt ordet målmängd och inte värdemängd i min förklaring ovanför? Det är för sent att redigera.

smaragdalena skrev :

Så då borde jag ha använt ordet målmängd och inte värdemängd i min förklaring ovanför? Det är för sent att redigera.

Ja. Exempelvis är värdemängden av $f(x)=x^2, \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ enbart värdena den kan anta, dvs alla positiva reella tal. Målmängden är däremot alla reella tal, och eftersom dessa inte är samma så är inte funktionen surjektiv. 

Så kan någon ge ett exempel på en funktion som är injektiv men inte surjektiv? Jag har funderat jättelänge och jag lyckas inte.

Wikipedia har följande bild som exempel / illustration av en funktion som är injektiv men inte surjektiv: 

Skissa upp några vanliga funktioner, exempelvis en rät linje, en andragradsfunktion, en tredjegradsfunktion, en exponentialfunktion, en rotfunktion, etc. Finns det någon av dem som beter sig på detta sätt? Någon funktion som är definierad för alla x, men inte når alla y? :)

Man behöver bara ordna så att målmängden är större än mängden av alla funktionsvärden.

T.ex. f(x) = e^x, från R till R.

Tack så mycket för era svar! Hur ska jag komma på vad f2 skulle kunna vara då? Då måste ju målmängden vara (0,1), enligt uppgiften.

I princip det allra lättaste svaret är att begränsa definitionsmängden. Sätt definitionsmängden till $D_f=\left[0,1\right]$. Nu behöver du bara hitta en funktion där alla värden i definitionsmängden ger ett funktionsvärde någonstans mellan noll och ett*. 

* EDIT: Men inte alla funktionsvärden mellan noll och ett.

Smart! Att jag inte tänkte på det!

x÷2 skulle ju kunna funka då.

Det fungerar bra! :)

Men definitionsmängden är väl redan given i uppgiften som 0<x<1?

Smutstvätt skrev:

I princip det allra lättaste svaret är att begränsa definitionsmängden. Sätt definitionsmängden till $D_f=\left[0,1\right]$. Nu behöver du bara hitta en funktion där alla värden i definitionsmängden ger ett funktionsvärde någonstans mellan noll och ett*. 

* EDIT: Men inte alla funktionsvärden mellan noll och ett.

 

Ledtråd:

Hur är det med andragradsfunktioner? Räta linjer? :)

Men definitionsmängden är väl redan given i uppgiften som 0<x<1? Den kan jag väl förresten inte ändra på, även om jag skulle vilja?
 

Ursäkta, det missade jag. Det har du rätt i. Det förändrar dock inte ditt svar. :)