Diskret matematik: Matematisk induktion - visa att för alla heltal n ≥ 2 gäller att...

Hej!
Jag försöker lösa följande uppgift men lyckas inte när jag vill visa att ekvationen gäller för (m + 1).

"Visa att för alla heltal n ≥ 2 gäller: $\sum_{k = 1}^{n} (9 k^{2} - 9 k) = 3 n^{3} - 3 n$ " vi kallar ekvationen för (*)

Min Lösning: Induktionsbevis

1. Bassteg: Visa att (*) gäller för n = 2:

- Vänster led (VL) =

$\sum_{1}^{2} (9 k^{2} - 9 k) + \sum_{1}^{1} (9 k^{2} - 9 k) = (9 * {(2)}^{2} - 9 * 2) + (9 * {(1)}^{2} - 9 * 1) = (9 * 4 - 9 * 2) + (9 - 9) = (36 - 18) + 0 = 18$

- Höger led (HL) = $3 n^{3} - 3 n = 3 * 2^{3} - 3 * 2 = 3 * 8 - 3 * 2 = 24 - 6 = 18$

VL = HL då n = 2, OK!

2. Antagande: antag att (*) gäller för n = m ≥ 2:

$\sum_{k = 1}^{m} (9 k^{2} - 9 k) = 3 m^{3} - 3 m$

3. Visa med hjälp av antagandet i steg 2 att (*) även gäller för n = m + 1:

$\sum_{k = 1}^{(m + 1)} (9 k^{2} - 9 k) = 3 {(m + 1)}^{3} - 3 (m + 1)$

vi vet nu att högerledet kommer att vara lika med => $3 {(m + 1)}^{3} - 3 (m + 1)$ och vi vill visa detta genom att räkna ut vänster ledet. Jag försökte räkna vänsterledet på följande sätt:

VL = $\sum_{k = 1}^{m + 1} (9 k^{2} - 9 k) = \sum_{k = 1}^{m} (9 k^{2} - 9 k) + \sum_{k = 1}^{m + 1} (9 k^{2} - 9 k)$

vi vet enligt antagandet i steg 2 att ( $\sum_{k = 1}^{m} (9 k^{2} - 9 k) = 3 m^{3} - 3 m$ ) då blir vänster ledet så här:

$\sum_{k = 1}^{m + 1} (9 k^{2} - 9 k) = (3 m^{3} - 3 m) + \sum_{k = 1}^{m + 1} (9 k^{2} - 9 k)$

Jag har kommit hit men när jag försöker räkna vidare (räkna den andra summan och visa att VL = HL) så vet jag inte hur jag ska tänka där (alltså hur jag ska utveckla den andra summan och få vänsterledet att bli lika med högerledet). Därför lyckas jag inte få ut rätt värde på vänsterledet.. hur ska jag göra?

Hej!

Här har det inte blivit rätt:

$V L = \sum_{k = 1}^{m + 1} (9 k^{2} - 9 k) = \sum_{k = 1}^{m} (9 k^{2} - 9 k) + \sum_{k = 1}^{m + 1} (9 k^{2} - 9 k)$

Du har i princip bara lagt till en summa på höger sida, likheten stämmer inte. Så här ska det se ut:

$V L = \sum_{k = 1}^{m + 1} (9 k^{2} - 9 k) = \sum_{k = 1}^{m} (9 k^{2} - 9 k) + (9 {(m + 1)}^{2} - 9 (m + 1))$

Förstår du varför eller ska jag förklara vidare?

Tack för att du svarar Judit! Jag förstår vad du menar och fixade till det, men när jag försöker förenkla så blir det så här (bifogar lösningen som en bild). Slut resultatet som jag kommer till kan inte bli som HL och jag vet inte vad jag gör för fel. Jag ser inte ett sätt att göra det här uttrycket ( $3 m^{3} + 9 m^{2} + 6 m$ ) lika med Högerledet som jag räknade ut i början av steg 3: alltså den => ( $3 (m + 1) 3 - 3 (m + 1)$ )...

Jodå, det går :) Testa att skriva om högerledet, så här:

$3 {(m + 1)}^{3} - 3 (m + 1) = = 3 (m + 1) (m^{2} + 2 m + 1) - 3 (m + 1) = = 3 (m^{3} + 3 m^{2} + 3 m + 1) - 3 (m + 1) = = 3 m^{3} + 9 m^{2} + 9 m + 3 - 3 m - 3 = = 3 m^{3} + 9 m^{2} + 6 m$

Det är lite omständligt att skriva ut hela uttrycket, men om du gör det så blir det rätt.

Juste ja, nu hänger jag med!! Thank you so much!!!

Svara

Visa senaste svar