Disjunkta och oberoende händelser
En sexsidig tärning slås en gång. Anta att A är händelsen som visar ett udda antal prickar och B är händelsen att antalet prickar är mindre än 3. Är A och B beroende/oberoende?
För att avgöra om två händelser är oberoende så måste .
P(A)= 1/3 och P(B)=1/2, vidare är , och därmed .
1/3 * 1/2 = 1/6 vilket innebär att dessa två händelser är oberoende, dvs. att utfallet av exempelvis A inte påverkar utfallet av händelse B och vice versa. Kan någon förklara hur utfallet av händelse A inte påverkar utfallet av händelse B?
I ett annat exempel då händelse A visar ett udda antal prickar och händelse B antalet prickar mindre än 4 så blir A och B beroende av varandra! Hur hänger det ihop?
Om händelserna är oberoende gäller:
Vet vi att A har inträffat, så ger det oss ingen ytterligare information om B än den vi redan har, dvs P(B).
P(B|A) = P(B)
Vet vi att B har inträffat, så ger det oss ingen ytterligare information om A än den vi redan har, dvs P(A).
P(A|B) = P(A)
Är de beroende gäller P(B|A) ≠ P(B) och P(A|B) ≠ P(A)
Vet vi att den ena har inträffat så ändrar det vår information om den andra.
Kolla Bayes' sats och däromkring i kursboken
------------------
Disjunkta händelser är höggradigt beroende!
Vet vi att den ena har inträffat, så innebär det att den andra inte har inträffat.
Tillämpar vi ovanstående svar på denna fråga får vi följande.
Sannolikheten för att få udda antal prickar är 1/2 (3 utfall av 6 möjliga). Vet vi att tärningen visar mindre än 3 är sannolikheten att få udda prickar fortfarande 1/2 (1 utfall av 2 möjliga).
Sannolikheten att tärningen visar mindre än 3 är 1/3 (2 utfall av 6 möjliga). Vet vi att tärningen visar udda antal prickar är sannolikheten är tärningen visar mindre än 3 fortfarande 1/3 (1 utfall av 3 möjliga).
Snygg komplettering!
Nu får någon kolla det andra exemplet:
"I ett annat exempel då händelse A visar ett udda antal prickar
och händelse B antalet prickar mindre än 4
så blir A och B beroende av varandra!"
Stämmer det?
Arktos skrev:Snygg komplettering!
Nu får någon kolla det andra exemplet:
"I ett annat exempel då händelse A visar ett udda antal prickar
och händelse B antalet prickar mindre än 4
så blir A och B beroende av varandra!"Stämmer det?
P(A)= 3/6 = 1/2, P(B)= 3/6 = 1/2 och .
Detta medför att , vilket innebär att A och B är beroende av varandra.
Snyggt. Säkert rätt.
Men jag måste skriva ner hur händelserna ser ut för att bli säker på hur AB ser ut.
A = { 1, 3, 5 } och B = { 1, 2, 3 }. Då är AB ={ 1, 3 }. Nu är jag med!
Jag tror att jag håller på att förstå frågan nu. Man kan säga så här:
Sannolikheten för att få udda antal prickar är 1/2 (3 utfall av 6 möjliga). Vet vi att tärningen visar mindre än 4 är sannolikheten att få udda prickar inte 1/2 utan 2/3 (2 utfall av 3 möjliga). Här kan händelse B anses som det nya utfallsrummet med 3 element.
Sannolikheten att tärningen visar mindre än 4 är 1/2 (3 utfall av 6 möjliga). Vet vi att tärningen visar udda antal prickar är sannolikheten att tärningen visar mindre än 4 inte 1/2 utan 2/3 (2 utfall av 3 möjliga). Här kan händelse A anses som det nya utfallsrummet med 3 element.
Precis!
Vet vi att A har inträffat, befinner vi oss i ett "reducerat" utfallsrum som består av A .
Sannolikheten för B i detta utfallsrum är P(B | A),
dvs den betingade sannolikheten för B givet A . etc.
Du har kommit långt!
Arktos skrev:Om händelserna är oberoende gäller:
Vet vi att A har inträffat, så ger det oss ingen ytterligare information om B än den vi redan har, dvs P(B).
P(B|A) = P(B)
Vet vi att B har inträffat, så ger det oss ingen ytterligare information om A än den vi redan har, dvs P(A).
P(A|B) = P(A)Är de beroende gäller P(B|A) ≠ P(B) och P(A|B) ≠ P(A)
Vet vi att den ena har inträffat så ändrar det vår information om den andra.Kolla Bayes' sats och däromkring i kursboken
------------------
Disjunkta händelser är höggradigt beroende!
Vet vi att den ena har inträffat, så innebär det att den andra inte har inträffat.
Gäller detta "Disjunkta händelser är höggradigt beroende!" även för händelserna A och B=?
Eftersom då är A och tomma mängden disjunkta.
och då blir vilket innebär att dessa två mängder är oberoende eller?
Tänkte inte på det!
Mycket bra fråga.
Den tomma mängden är väl delmängd till varje mängd?
I så fall ingår den i varje mängd och kan då inte vara disjunbkt från någon mängd.. Visst?
Jag vet inte var haken finns.
Vad kräver Bayes sats?
Åtminstone en av P(A) och P(B) måste väl vara skild från noll?
Måste gå tillbaka till grunderna....
Du kan väl i princip ha två oberoende händelser som är disjunkta, men då måste sannolikheten för åtminstone den ena vara 0.
Arktos skrev:Den tomma mängden är väl delmängd till varje mängd?
I så fall ingår den i varje mängd och kan då inte vara disjunbkt från någon mängd.. Visst?
Den tomma mängden är till och med en äkta delmängd till varje annan mängd.
Rättelse: Däremot "ingår" den inte i någon annan mängd, eftersom den saknar element,
som skulle kunna vara gemensamt med någon annan mängd , A ≠ Ø , så [ Ø snitt A ] = Ø .
Händelserna är därför disjunkta, som Marx redan påpekat.
Hondel skrev:Du kan väl i princip ha två oberoende händelser som är disjunkta, men då måste sannolikheten för åtminstone den ena vara 0.
Sett från andra hållet är de disjunkta händelserna A och Ø oberoende när A ≠ Ø ,
eftersom P( A snitt Ø ) = P(A)·P(Ø) oavsett värde på P(A) .
Det finns alltså par av händelser som är både disjunkta och oberoende,
[men bara(?)] om en av dem är lika med Ø .
Tack, Marx, för frågan och Hondel för passningen!
-------------------------
Detta är väl ändå ett särfall. Påminner om division med noll
Vanligen handlar det om par av händelser med positiva sannolikheter.
Här är en tråd om detta, kort men innehållsrik.
