direkt bevis

med hjälp av direkt bevis visa att för alla positiva heltal n så $n! \leq n^{n}$

jag har lite problem att börja eftersom jag inte vet några definitioner som jag kan ta hjälp av för att visa olikheten. Det jag kan göra är ju att ta fram negationen genom att första skriva olikheten som

$\forall n \in Z_{+} : n! \geq n^{n}$

sedan $N O T (\forall n \in Z_{+} : n! \geq n^{n}) = \exists n : n! > n^{n}$

denna olikhet blir ju falsk eftersom $n^{n}$ växer snabbare än n! och eftersom negationen är falsk så är de första olikheten sann men jag kan ju inte visa det.

Induktionsbevis:

1) Om n=1 $1! \leq 1^{1}$ så funkar olikheten för n=1

2) Vi antar att olikheten funkar för n=k där k $\in$ $Z_{+}$

3) Vi ska bevisa att olikheten funkar också för n=k+1

Bevis: $k! \leq k^{k} \to k \times k! \leq k \times k^{k} \to k \times k! \leq k^{k + 1} \to (k + 1) \times k \times k! \leq (k + 1) \times k^{k + 1} \to k \times (k + 1)! \leq \to (k + 1) \times k^{k + 1} (k + 1)! \leq \frac{(k + 1) \times k^{k + 1}}{k} = (k + 1) \times k^{k} \leq (k + 1) \times (k + 1)^{k} = (k + 1)^{k + 1} S å n! \leq n^{n} h a r o c s k å f u n k a t f ö r n = k + 1 S l u t s a t s e n ä r n! \leq n^{n} f u n k a r f ö r a l l a n \in Z_{+}$

alireza6231 skrev :
Induktionsbevis:
1) Om n=1 $1! \leq 1^{1}$ så funkar olikheten för n=1
2) Vi antar att olikheten funkar för n=k där k $\in$ $Z_{+}$
3) Vi ska bevisa att olikheten funkar också för n=k+1
Bevis: $k! \leq k^{k} \to k \times k! \leq k \times k^{k} \to k \times k! \leq k^{k + 1} \to (k + 1) \times k \times k! \leq (k + 1) \times k^{k + 1} \to k \times (k + 1)! \leq \to (k + 1) \times k^{k + 1} (k + 1)! \leq \frac{(k + 1) \times k^{k + 1}}{k} = (k + 1) \times k^{k} \leq (k + 1) \times (k + 1)^{k} = (k + 1)^{k + 1} S å n! \leq n^{n} h a r o c s k å f u n k a t f ö r n = k + 1 S l u t s a t s e n ä r n! \leq n^{n} f u n k a r f ö r a l l a n \in Z_{+}$

induktionsbevis räknas väl inte som direkt bevis? men annars var de ju bra att få se de med induktion :)

Det borde inte vara svårare än

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n < n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n = n^n$

Smaragdalena skrev :
Det borde inte vara svårare än
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n < n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n = n^n$

de räcker alltså att man ser utifrån talföljden att n! aldrig kommer vara större än n^n?

Direct proof methods include proof by exhaustion and proof by induction.

https://en.wikipedia.org/wiki/Direct_proof

Hej!

Negationen ska vara

$\exists\,n:n!<n^n.$

Visa att detta leder till en motsägelse.

Albiki

Hej!

Du har missförstått problemet. Du ska visa att $\forall\,n:n!\leq n^n$ .

Anta att negationen är sann. Då finns det ett positivt heltal sådant att $n!>n^n$ . Men dett medför motsägelsen att

$\frac{1}{n}\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n}>1$ .

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Negationen ska vara
$\exists\,n:n!<n^n.$
Visa att detta leder till en motsägelse.
Albiki

men va bra! det var ju något sånt här jag hade hoppats på :D

Albiki! Ett motsägelsebevis är ett indirekt bevis. I den här uppgiften frågar man efter ett direkt bevis.

Svara

Visa senaste svar