Diofantiska ekvationer igen

Till att börja med måste 53n och 67 ha olika tecken i lösningsformlerna.

Om du har +53n så måste du ha -67n eller omvänt för poängen är ju att dessa termer ska ta ut varandra när de sätts in i ekvationen men de kan inte ta ut varandra om de har samma tecken.

Jag tror inte att

Error converting from LaTeX to MathML (YEAH... THIS...) (Jag kanske skriver om uttrycken efter 18 men har en inlämningsuppgift jag behöver återgå till, ledsen...)

Error converting from LaTeX to MathML

Däremot är det en ful lösning i det avseendet att 0-lösningen är så stor så man kan göra substitutioner på formen

$n \to n + k$ 

för att snygga till det hela. Om jag exempelvis tar $$n \to n + 1000$ , alltså bara förskjuter var jag börjar med n får jag formelmodifikationen

Error converting from LaTeX to MathML

Error converting from LaTeX to MathML

där startvärdena har blivit mindre. Väljer jag min förskjutningsterm k rätt kan jag få talen att bli tvåsiffriga vilket kan anses vara en mer hanterlig startpunkt men huruvida det är det eller ej beror på sammahang.

Så att göra:

1. Kontrollera om min +-korrektion på 53 och 67 är vettig

2. Se över om du har eventuella slarvfel någonstans

3. Applicera en passande n+k-förskutningsoperation på uttrycket för att föra uttrycket snyggare

Hej Serious!

1. jag tänkte att tecken måste vara olika, men eftersom jag hittade $19$ och $-2$ i partikulär lösning, blev det + för den första och -(-) i den andra.

2. din latex har ramlat mellan raderna :(

3. jag förstår inte nk grejen, kanske på grund av latexen! 

Det är inte bråttom för mig, jag har några dagar på mig så jag kan vänta! Lycka till för din inlämning uppgift!

Okej då gör jag om det här något kortare  för passerade redigeringsgränsen. 

Vad har hänt? Vi har funnit en lösning $(x_0,y_0) = (19,-24)$ genom euklides algoritm till ekvationen

$67y + 53x = 1$

därefter multiplicerar du lösningen med 7000 för att få nya lösningen $(x_0',y_0') = (133000,-168000)$ som är en lösning till

$67y + 53x = 7000$

Därefter identifierar du att (-53n, 67n) är en lösning till 67y + 53x = 0 så allmänna lösningen blir

$y_n = 133000 - 53n$

$x_n = -168000 + 67n$

Detta är redan är färdig lösning men ibland vill man att de konstanta talen i lösningen $(x_0',y_0')$ ska vara så små som möjligt och positiva och då kan man göra substitutionen $n \to n + k$ för något passande tal $k$. Jag kommer att välja $k = \lceil 168000/67 \rceil = 2508$ då det är det minsta talet som gör x-startvärdet positivt

$y_n'= 133000 - 53(n + 2508) = 76 - 53n$

$x_n' = -168000 + 67(n + 2508) = 36 + 67n$

Utifrån denna utgångspunkt är det sedan lättare att identifiera just de fall där båda är positiva.

SeriousCephalopod skrev :

$y_n = 133000 - 53n$

$x_n = -168000 + 67n$

En till fråga: är $-168000+67n$ ekvivalent med $168000-67n$ när man skriver lösningen?

Detta är redan är färdig lösning men ibland vill man att de konstanta talen i lösningen $(x_0',y_0')$ ska vara så små som möjligt och positiva och då kan man göra substitutionen $n \to n + k$ för något passande tal $k$. Jag kommer att välja $k = \lceil 168000/67 \rceil = 2508$ då det är det minsta talet som gör x-startvärdet positivt

$y_n'= 133000 - 53(n + 2508) = 76 - 53n$

$x_n' = -168000 + 67(n + 2508) = 36 + 67n$

Utifrån denna utgångspunkt är det sedan lättare att identifiera just de fall där båda är positiva.

$n \to n + k$ är jag inte med.

Så här tänkte jag:

$$\begin{gathered} y= 133000 - 53n \ge 0 \\ y= 133000 \ge 53n \\ \frac{133000}{53}\ge n \\ 2509,4\ge n \\ x = -168000 + 67n \ge 0 \\ x = -168000 \ge -67n \\ \frac{-168000}{-67}\le n \\ 2507,5\le n \end{gathered}$$

Så jag trodde att n kunde bara vara 2508?

Jag tror jag måste läsa om din förklaring om en stund.

Men hörru Daja, om du kommit fram till $2507.5<n<2509.4$ uppfyller inte n=2509 också olikheten då?

Guggle skrev :

Men hörru Daja, om du kommit fram till $2507.5<n<2509.4$ uppfyller inte n=2509 också olikheten då?

....

....

...

*the shame*

Jag vill också förstå hur Serious löser, det är stiligare.

Ok, nu åkte jag pulka och jag är med.

SeriousCephalopod letade efter den minimala k för positiv lösning för x, och anpassade båda ekvationer. 

Vi har 0.53<n<1,43, dvs n kan bara vara 1.

n+k= 2509.

Jag undrar dock varför vi använder denna (mycket stilliga) metod? Är det vad brukas göra i mer komplicerade ekvationer?

Finns en massa metoder som flyter runt i den här tråden så jag vet inte riktigt vilken som är den stiliga. (Ärligt talat är de alla ganska fula :P)

1. Talet n är bara en hjälpstorlek vi har introducerat och är därmed godtycklig.

2. Om det är godtyckligt kan det lika gärna väljas så att uttrycket blir snyggare

Om jag ska vara mer ärlig med historiken för hur k konstrueras så följde det hos mig mer på följande vis:

Jag börjar med att 168000 med avseende på 67 och får

$168000 = 2507*67 + 31$, divisonen där resten är positiv och så liten som möjligt

och därefter öka kvoten med 1, 2507 -> 2508 så jag får

$168000 = 2508*67 -36$

detta är alltså en divisionrepresentation där resten är negativ men till beloppet så litet som möjligt. Därefter substituerar jag in $168000 = 2508*67 - 36$ i uttrycket

$x_n = -168000 + 67n = -(2508*67- 36) + 67n = 36 +67(n - 2508)$

men då n bara var en hjälpstorhet kan jag lika gärna introducera m = n - 2508 och använda en annan enumerering av lösningarna

$x_m = 36 - 67m$

gör jag dock detta med x-lösn måste jag dock göra samma med y-lösningen och därmed

Optimering: Sedan kan jag snabba upp själva processen genom att istället för att skriva 168000 = 2507*67 + 31 och göra 2507+1 inser att 

$168000 = 2508*67 -36$

$168000/67 = 2508 -36/67$

$\lceil 168000/67 \rceil = 2508$

kan använda det uttrycket direkt för att hitta förskjutningstermen. 

Varför jag använder denna omskrivning är främst för att mänskliga hjärnan har lättare att förstå och hantera små tal än stora tal, så är en ren psykologisk grej. 

Eller var det någon annan metod eller idé som du undrande över?

Jo, men det var precis det jag undrade över.

Varför skriva en tråkigt olikhet när du kan skriva skitmycket text som ser intelligent ut😏? Jag tror inte dock att jag kan förklara det kortfattat och stiligt på whiteboard.

Men när du hittade $168000=2507\cdot67+31$ som gav en positiv rest varför gick du till Error converting from LaTeX to MathML? Är det inte hela poäng att rest måste vara positiv? (oj, jag känner att jag fortfarande cyklar i skogen)

Vi har -168000 i själva $y_n$ så sättet jag får en positiv term istället för -168000 är att ha en negativ rest så att jag får -- = +. Det kan ha varit ett fel med tecknen när jag postade från början då jag redigerade den raden en del.

Man kunde väl också skrivit 

-168000 = -(2508*67 - 36) = 36 - 2508*67

individuellt för att betona detta.

Så vi skulle kunna formulera det övergripande målet som.

Vi vill skriva -168000 som summan av ett litet positivt tal och en multipel av 67 som kan vara negativ

Ok, nu är jag med! 

Tack för allt hjälp!

Inga problem : )