Diofantiska ekvationer 3 variabler
Hej!
Jag läser om diofantiska ekvationer i tre (eller ja, godtyckligt antal egentligen) variabler för tillfället och följer med nästan hela vägen. Boken beskriver det såhär:
Exempel 6x + 10y + 5z = 5
Skriv om som 6x + (6+4)y + (2*6 + 3)z = 5
och i sin tur som 6(x + y + 2z) + 4y + 3z = 5
Gör sedan följande variabelbyten: x1 = x + y + 2z, y1 = y, z1 = z
Man får då: 6x1 + 4y1 + 3z1 = 5
Skriv om följande: 2*3x1 + (3+1)y1 + 3z1 = 5
och i sin tur som 3(2x1 + 3y1 + z1) + y1 = 5
Variabelbyten: x2 = x1, y2 = y1, z2 = 2x1 + y1 + z1
Vilket ger: 0x2 + y2 + 3z2 = 5
Ett till variabelbyte: x3 = x2, y3 = y2 + 3z2, z3 = z2
Detta ger: 0x3 + y3 + 0z3 = 5
Detta har lösningarna x3 = m, y3 = 5, z3 = n, där m och n är i heltal.
Jag är helt med på allt ovan.
Sedan står det i boken "Genom att arbeta bakåt med några enkla beräkningar så får vi x = 5 + 5m − 5n, y = 5 − 3n, z = −5 − 2m + 4n".
Jag lyckas inte lista ut vilka beräkningar de gör bakåt. De sätten jag har försökt leder mig bara tillbaka till originalekvationen. Har försökt googla för att förstå mig på detta men tycker det verkar som om det är andra sorters metoder som används (vilket givetvis också är bra att kunna och de är ju såklart liknande), vilket inte har hjälpt mig förstår just det där sista steget. Det KAN ju inte vara så svårt, tänker jag, jag lyckas bara inte greppa det. Jag skulle därför uppskatta en förklaring på vilket "arbete bakåt" de faktiskt gör.
Tack på förhand!
EDIT: Är ekvationen från början 6x+10y+15z=5? inte 5z.
---------------------------------------------------
Sista variabelbyte du gjorde var så x3=x2, y3=y2+3z2 och z3=z2
Sen fick du till slur att : x3=m, y3=5 och z3=n Om vi byter ut dem i föregående raden så får vi:
x2=m, z2=n och 5=y2+3n ==> x2=m, z2=n och y2=5-3n
Nu har vi kommit fram till x2, y2 och z2 uttryckt i m och n.
Sen använder du variabelbyten (x2=x1, y2=y1 och z2=2x1+y1+z1) för att få x1, y1 och z1 uttryckt i m och n.
Då blir x1=x2=m
y1=y2=5-3n
z1=z2-2x1-y1= n-2m-5+3n = -5+4n-2m
Sen använder du variabelbyten (x1=x+y+2z, y1=y och z1=z) för att få x, y och z uttryckt i m och n.
Kommer du vidare?
Mohammad Abdalla skrev:EDIT: Är ekvationen från början 6x+10y+15z=5? inte 5z.
---------------------------------------------------
Sista variabelbyte du gjorde var så x3=x2, y3=y2+3z2 och z3=z2
Sen fick du till slur att : x3=m, y3=5 och z3=n Om vi byter ut dem i föregående raden så får vi:
x2=m, z2=n och 5=y2+3n ==> x2=m, z2=n och y2=5-3n
Nu har vi kommit fram till x2, y2 och z2 uttryckt i m och n.
Sen använder du variabelbyten (x2=x1, y2=y1 och z2=2x1+y1+z1) för att få x1, y1 och z1 uttryckt i m och n.
Då blir x1=x2=m
y1=y2=5-3n
z1=z2-2x1-y1= n-2m-5+3n = -5+4n-2m
Sen använder du variabelbyten (x1=x+y+2z, y1=y och z1=z) för att få x, y och z uttryckt i m och n.
Kommer du vidare?
Oj, ja, precis: 15z inte 5z.
Stort tack! Sista delen kommer jag vidare med.
