Diofantisk ekvation

Byt inte ut alla ettor. Jag brukar ta ett steg i taget och förenkla mellan stegen. 

Det saknas gångertecken, så det är svårt att se vad du gör. 423 är ju inte 423 utan 4 gånger 23.

 1 = 3 - 1 2 = 3 - (5-1 x 3)= (23-4x5)-5+1 (23-4x5)=

= 23-4(97-4x23)-(97-4x23+1)(23-4(97-4x23)).

Precis det ska vara gångertecken som hade suddats bort. Jag förstår inte riktigt vad du menar att jag inte ska byta utalla ettor. 

Jag får alltid fel svar när jag ska räkna ut antalet 23 och 97 framkommer. Jag får fram   1 = 23 (9) + (97) (-13)  vilket är helt fel. 

Har jag kanske satt upp ekvationen fel?

97=4*23+5     5=97-4*23

23=4*5+3    3=23-4*5

5=1*3+2    2=5-1*3

3=1*2+1    1=3-1*2

1 = 3-1*2 = 3-1*(5-1*3) = 2*3-5 = 2*(23-4*5) - 5 = 2*23 - 9*5 = 2*23 - 9*(97-4*23) = 38*23-9*97

Det jag menade med att byta ut alla ettor var att du hade bytt ut ettan i 1*3.

Tusen tusen tack! Nu förstår jag.

Laguna skrev:

97=4*23+5     5=97-4*23

23=4*5+3    3=23-4*5

5=1*3+2    2=5-1*3

3=1*2+1    1=3-1*2

1 = 3-1*2 = 3-1*(5-1*3) = 2*3-5 = 2*(23-4*5) - 5 = 2*23 - 9*5 = 2*23 - 9*(97-4*23) = 38*23-9*97

Det jag menade med att byta ut alla ettor var att du hade bytt ut ettan i 1*3.

Menar du att 38 är positiv och 9 är negativ?

Alltså är x= 38 och Y=-9?

Om man räknar ut med det som jag skrivit ovan blir det svårt att till slut hitta positva heltalsöningar...

Men om både 38 och 9 är positiva kan man finna positiva heltalslöningar

Du har ju kvar multiplikationen med 7000. Då kan du få x och y att bli positiva båda två.

Laguna skrev:

Du har ju kvar multiplikationen med 7000. Då kan du få x och y att bli positiva båda två.

38 gånger 7000 = 266000

-9 gånger 7000= -63000,

nej y blir inte positiv...att den inte blir positiv resulterar i att det är svårt att få fram positiva heltalslösningar i senare skede...

Du får ta den generella lösningen och plussa på tills båda blir positiva.

Generella lösningen är x= x0 -bn, y = y0 + an. 

plus och minus blir minus,,,,så det funkar inte..

x1=266 000-97(-2739)=531683

y1= -63 000+23(-2739)=-125997

x2= 266 000-97(-2740)= 531780

y2= -63 000+23(-2740)=-126020

x3= 266 000-97(-2741)= 123

y3=- 63 000+23(-2741)=43

x4=266 000-97(-2742)=531974

y4=-63 000+23(-2742)=-126066.

att det blir minus vid alla y är fel. Vad kan jag göra?

x3 och y3 är väl bra?

Laguna skrev:

x3 och y3 är väl bra?

så svaret på hela frågan är enbart x3 och y3. Jag trodde att alla skulle bli positiva. Bör inte alla x1,x2,x3,x4 samt y1,y2,y3,y4 även vara positiva?

jag hade beräknat fel...x3 blir psotiv men y3 blir negativ..

x1=266 000-97(-2739)=531683

y1= -63 000+23(-2739)=-125997

x2= 266 000-97(-2740)= 531780

y2= -63 000+23(-2740)=-126020

x3= 266 000-97(-2741)= 531877

y3=- 63 000+23(-2741)=-126043

x4=266 000-97(-2742)=531974

y4=-63 000+23(-2742)=-126066.

Dessa är de korrekta uträkningarna.

Jag vet verkligen inte hur jag ska gå vidare

Jag förstår inte vad det är du hakat upp dig på. Den generella lösningen (uttryckt i n, vet inte vilken variabel ni använder) är ett heltal, negativt eller positivt, spelar ingen roll.

Skillnaden är att i vissa uppgifter så kan inte dina par (x,y) vara negativa. 

Om du har 6x+19y=3000 där x är barn och y är vuxna som köpte biljetter till en bio så krävs det att vi måste hitta ett (x,y) där bägge är  icke-negativa då man inte kan ha -14 barn som köpt en biljett.

Tack för svaret. 

Jag har fått att  -2739 ska vara större än n ska vara mindre än -2742. Alltså kan jag räkna med n som -2739,-2740,-2741,-2742. När jag gör det i den genrella lösningen så får jag inte x och y par som blir positivt. Så, kan svaret vara att just den diofantiska ekvationen har oändligt många lösningar, dock inte positiva lösningar?

Det var det som jag hade hakat upp mig på, att jag inte får fram positiva lösningar.

Om det handlar om allmänna diofantidka ekvationer så finns det oändligt med lösningar, ja då n är ett godtyckligt heltal. 

Om uppgiften som exemplet ovan kräver att vi svarar med endast positiva lösningar så får du ta fram den generella lösningen, och sätta var och en =>0 då vi antingen har 0, eller fler. Då får vi ett intervall av n vi kan använda och då finns det ett finit antal lösningar. Men återigen, det beror på vad vi söker. 

Precis som i pythagoras så förstår vi att en sidlängd inte kan vara negativ då det skulle vara ologiskt. 

Är du med? 

Uppgiften som jag fick var bara "Hitta samtliga positiva lösningar till den diofantiska ekvationen 23x+97y=7000". 

Det var inget konkret exempel. Känner att jag räknat något fel när jag inte hittar någon positiv lösning alls eftersom att uppgiften gick ut på det.

Vad är din generella lösningen? Skriv ut den först och främst, tag sedan x och y för sig självt och läs olikheter ovan. Jämför med facit. Om det intr stämmer, berätta lite mer om vad facit svarar och bad du svarat.

Jag har inte räknat uppgiften själv så för tillfället bet jsg inte hur många positiva lösningar som existerar. 

Vi har ingen facit, det är just därför jag söker så mycket hjälp som möjligt. 

Den allmänna lösningen 

  x= 266 000 - 97 x n

  y=  -63 000+ 23 x n.

Sedan satte jag upp både x och y som olikheter där n kunde vara större eller likamed 0 och då fick jag :

Vi kan lösa olikheten i ekvation 1. n  är större eller lika med -2742 

samt går det att lösa olikheten i ekvation 2. n är större eller lika med -2739 . 

 Detta innebär att n kan vara fyra olika heltal vilka är -2739,-2740, -2741 samt -2742. 

Så jag räknade ut dem : 

x1=266 000-97(-2739)=531683

y1= -63 000+23(-2739)=-125997

x2= 266 000-97(-2740)= 531780

y2= -63 000+23(-2740)=-126020

x3= 266 000-97(-2741)= 531877

y3=- 63 000+23(-2741)=-126043

x4=266 000-97(-2742)=531974

y4=-63 000+23(-2742)=-126066.

Och får enbart negativa par...

Du har räknat fel, n ska inte vara negativt.

$2740 \leq n \leq 2472$ vilket ger dig dina tre söka heltalslösningar.

Dracaena skrev:

Du har räknat fel, n ska inte vara negativt.

$2740 \leq n \leq 2472$ vilket ger dig dina tre söka heltalslösningar.

Tack du rädda mig verkligen

men hur kom du fram till detta? Varför från 2740 och inte 2739? Kan jag bara omvandla n från negativt till positivt?

Jag räknade bara olikheten normalt, du måste ha råkat vända på din olikhet. 

Exempelvis, om vi får $n \geq 74.3$ så måste alltås n vara $\geq 75$ eftersom den antingen är lika, eller större, men vi vet att n är endast ett heltal så vi får avrunda upp. 

Om olikheten hade varit $n \leq 74.3$ så är n alltså $n \leq 74$.

Visa gärna hur du fick ett negativt n.