Diofantisk ekvation

I detta fall är det ju ganska enkelt att se en lösning, du har att

$1 = 2·(-2) + 5·1$

Detta innebär alltså att x = -2, y = 1 är en partikulärlösning till 2x + 5y = 1, vilket innebär att x = -200, y = 100 är en partikulärlösning till 2x + 5y = 100. Kan du då hitta alla lösningar?

då kan man väl göra samma sak fast multiplicerat med 10 för att få fram svaret till uppgiften, dvs x=-2000 y=1000 så 2x+5y=1000

men jag är inte helt med på vad man ska göra med punkterna i xy planet som man därmed har räknat, ska man alltså bara markera x=-2000 och y=1000?

Fast den ursprungliga ekvationen är 20x + 50y = 1000, till denna är x = -200, y = 100 lösningar. Men detta är bara en lösning, vet du hur man får fram alla lösningar?

nej det är jag inte riktigt med på.

Man får alla lösningar av

$$\begin{gathered} x =\hspace{0.17em}-200 + 5n, \\ y =\hspace{0.17em}100 - 2n \end{gathered}$$

Så nu ska du hitta alla lösningar där både x och y är positiv.

okej blir inte x och y positiva då $41\le n<50$

Ja, så vilka lösningar motsvara det?

ska man alltså räkna ut samtliga lösningar för n=41,42...50?

Ja, fast för 41, 42, ..., 49.

okej då får jag för följande värden på n:

41) x=5, y=18

42) x=10, y=16

43) x=15, y=14

44) x=20, y=12

45) x=25, y=10

46) x=30, y=8

47) x=35, y=6

48) x=40, y=4

49) x=45, y=2

Japp det stämmer bra. Har du ritat ut punkterna i ett koordinatsystem?

blir det inte bara att markera punkterna (5,18), (10,16)...(45,2)?

och för att svara fullständigt, det finns alltså totalt 9 stycken lösningar till ekvationen?

Ja du ska placera ut de där punkterna, poängen med att göra det är att du ska se hur de förhåller sig till varandra och på vilket sätt dom "utmärker" sig rent geometriskt.

Ja det är 9 stycken positiva heltalslösningar till ekvationen.