Diofantisk ekvation: 1.6x + 4.6y = 61.8
Hej. Jag har en diofantisk ekvation: 1.6x + 4.6y = 61.8
Svårt att hitta information om hur man ska lösa om den ser ut på sådant sätt.
Jag börjar med att multiplicera hela ekvationen med 10 för att få ekvationen på heltalsform.
Sedan gör jag euklides algoritm som ger att SGD(16, 46) = 2. Hade varit samma för (1.6, 4.6) men inte gett ett heltal som SGD. Det ger att ekvationen har lösningar, då 618 är delbart med 2 (sgd för 16 och 46)
Nästa steg får jag problem med, när man ska använda euklides algoritm omvänt för att få svaret. Man ska alltså få ekvationen uttryckt i 16 och 46 = SGD(16, 46) = 2 och sedan multiplicera uttrycket med 30,9 för att få 618 som i uppgiften, därefter se vad x och y är. 16x + 46y = 618, fast istället för x och y har vi i detta fall några tal.
Har ni något tips hur man ska gå till väga? Har jag tänkt rätt?
Hur långt kommer du med Euklides algoritm baklänges?
Laguna skrev:Hur långt kommer du med Euklides algoritm baklänges?
jag får: 2 = 16 - (46 - 2*16) = 16*3 - 46
sen multiplicerar jag det med 30,9.
61,8 = (16 * 92,7) + (46 * -30,9) vilket blir fel. Jag testade en annan lösning och fick rätt, men det tror jag knappast är godkänt på kommande examination. Så här: 16*3 = 1.6*30 x = 30. Sätter in detta i uttrycket och får 1.6 * 30 + 4.6y = 61.8 vilket ger att y är 3 och x är 30 i denna lösning. Det stämmer. Men inte rätt lösningsmetod tror jag
får även inte fram den andra lösningen.
Om du gör om 61,8 = (16 * 92,7) + (46 * -30,9) lite så blir det
61,8 = (1,6 * 927) + (4,6 * -309)
Det räcker med att multiplicera med 5 om du vill ha heltal.
Snushunk skrev:får även inte fram den andra lösningen.
Det finns oändligt många lösningar. Står det att x och y ska vara positiva?
Laguna skrev:Snushunk skrev:får även inte fram den andra lösningen.
Det finns oändligt många lösningar. Står det att x och y ska vara positiva?
Ja precis, jag glömde att skriva det i inlägget!
Dracaena skrev:Det räcker med att multiplicera med 5 om du vill ha heltal.
Hmm okej det tänkte jag inte på. Det gör det lättare.
8x+23y=1
23=8*2+7 7=23-8*2
8=1*7+1
1=8-7=8-(23-8*2)=8-23+2*8=3*8-1*23
Så en partikulär lösning är
xp=3, yp=-1
men vi ville lösa
8x+23y=618
Så en lösning är
x=1854
y=-618
Alla lösningar
x=1854+23n
y=-618-8n där n heltal.
Då x,y ska vara större än noll får vi hitta ett n så y blir postivt.
n=-78 verkar göra biffen.
x=60+23n
y=6-8n.
Notera att det inte är ett nytt svar utan helt ekvivalent med första.
