Dimentioner och baser för vektorrum

Ta fram en bas för rummet av ${\mathrm{ℝ}}^{3\times 2}$ matriser. Dimensionen är antalet matriser i din bas.

Till exempel, för ${\mathrm{ℝ}}^{3\times 1}$ så vet du säkert att följande matriser utgör en bas

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$.
Dimensionen är 3, eftersom det är tre basvektorer. Notera hur basen är konstruerad, i varje basvektor är ett element satt till 1 och alla andra till 0.

Försök att konstruera en liknande bas för ${\mathrm{ℝ}}^{3\times 2}$. Var noga med att övertyga dig om att det faktiskt är en bas, och räkna sedan hur många matriser det är i basen för att bestämma dimensionen.

Förlåt om det är ett dumt svar men är inte matrisen du skrev en ${\mathrm{ℝ}}^{3x3}$? Eller tänker jag fel? Så för en bas bör endast ett element i raden/kolumnen vara 1?

Nej. Det är tänkt att indikera tre stycken 3 x 1 matriser.

Tex $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ är en 3 x 1 matris. Dvs 3 rader och 1 kolumn.

Okej så när det ska vara i ${\mathrm{ℝ}}^{3x2}$är det x antal 3x2 matriser, $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$tex

Men hur menar de då att man ska göra?

För det första är det mycket fult att ha ett vanligt x ovanför R.

Dimensionen kommer vara 6, det är helt enkelt sex stycken 3x2 matriser med nollor på alla ställen utom en

Spannet (alla möjliga linj komb) av dessa sex är hela R3x2.

Förresten är din matris i originalinlägget 2x3 och inte 3x2

Creepzzz skrev:

Okej så när det ska vara i ${\mathrm{ℝ}}^{3x2}$är det x antal 3x2 matriser, $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$tex

Men hur menar de då att man ska göra?

Ja, det enklaste är dock att välja matriser med en 1:a och resten 0:or. Tex 

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$, ..., $\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$. Hur många matriser blir det? Är detta en bas?

Nu ska du inte blanda ihop. Du tänker kanske att (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) utgör en bas för R3, och att du kan sätta ihop två av dessa och få en bas för R3x2? Så funkar det inte riktigt. 

Börja om från början och tänk vad en bas är för ett vektorrum. Vad ska basen göra?

Det blir ju 6 st matriser. Jag vet inte ifall det är en bas. Blir inte 4 av de linjära kombinationer av de första? 

Ja det blir sex stycken, det blir en bas. Det är nollor på alla ställen utom en, hur kan vi då skapa en med hjälp av de andra?

Tex de tre som PATENTERAMERA har skrivit, kan du skapa nån av de med hjälp av de två andra?

Ah jag tror jag förstår nu! Men dimentionen blir fortfarande 3 va? 

Dimensionen blir 6!!! Det är för att basen innehåller sex vektorer.

Oh förlåt!

Creepzzz skrev:

Det blir ju 6 st matriser. Jag vet inte ifall det är en bas. Blir inte 4 av de linjära kombinationer av de första? 

6 st. Korrekt. För att de skall vara en bas så krävs två saker: 

A. Varje matris i ${\mathrm{ℝ}}^{3\times 2}$ kan skrivas som en linjärkombination av våra 6 matriser;

B. Våra 6 matriser är linjärt oberoende.

Jag visar A.

Låt M = $\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\\ m_{31}& m_{32}\end{array}\right]$ vara en godtycklig matris i ${\mathrm{ℝ}}^{3\times 2}$. Vi har då

$\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\\ m_{31}& m_{32}\end{array}\right]$ = $m_{11}$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ + $m_{12}$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ + ... + $m_{32}$$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$.

Så M kan skrivas som en linjärkombination av våra 6 matriser.

Jag lämnar B som övning.