Dimensionera översväning och snabbhet för en differentialekvation - Hur?

Låt oss säga att jag har detta ekvationsystem:

$a \overset{\cdot \cdot}{x} = b \overset{\cdot}{x} + c x - 3 d \overset{\cdot \cdot}{y} = e \overset{\cdot}{y} - f y - 9$

Då kan jag dimensionera detta igenom att sätta värden på a, b, c, d, e och f.

Det första jag kan göra är att börja skriva denna ordinära differentialekvationsystem på första graden

$\overset{\cdot}{h_{1}} = h_{2} a \overset{\cdot}{h_{2}} = b h_{2} + c h_{1} - 3 \overset{\cdot}{h_{3}} = h_{4} d \overset{\cdot}{h_{4}} = e h_{4} - f h_{3} - 9$

Då vet jag att $h_{1} = x, h_{2} = \overset{\cdot}{x} h_{3} = y, h_{4} = \overset{\cdot}{y}$ och då kan jag dimensionera detta statiskt igenom att sätta ALLA första derivatorna till noll:

$0 = h_{2} a 0 = b h_{2} c h_{1} - 3 0 = h_{4} d 0 = e h_{4} - f h_{3} - 9$

Då har jag bara $c h_{1} = 3$ och $f h_{3} = 9$ att lösa. Om jag sätter värden på $h_{1}, h_{3}$ som jag önskar att ha, så kan jag enkelt lösa ut c och f. Men nu kommer det till frågan! Hur dimensionerar jag värden för b och e ?

Föreställ er att detta system är ett linjärt fjäder-massa-dämpare system där c och f är styvhetskonstanter för fjädringen och e och b är dämpningskonstanter för dämpningen.

Jag önskar en viss dynamisk karaktär. Översväning, snabbhet och kort insvägning. Då är det parametrarna e och b jag ska dimensionera. Men hur?

Edit:

En fråga! Tror ni jag kan använda mig av det karaktäristiska polynomet $s^{2} + 2 ζ ω s + ω^{2}$ ,som är nämnaren i en andra grads överföringsfunktion, för att dimensionera översväning och egenfrekvens?

Om jag fattar det rätt så är x och y oberoende, så då har du två oberoende dämpade harmoniska svängningar med någon viss förskjutning av jämviktsläget.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html

Har jag missat något?

Ekvationen du syftar på stämmer rätt. Dem är oberoende. Men det var bara ett exempel tagit ur luften.

Nu är din länk anpassat för beräkning av enskild komponent i ett system. Inte ett matrissystem.

Dr. G skrev :
Om jag fattar det rätt så är x och y oberoende, så då har du två oberoende dämpade harmoniska svängningar med någon viss förskjutning av jämviktsläget.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html
Har jag missat något?

Men vi säger att jag har detta system:

$a \overset{\cdot \cdot}{x} (t) = b \overset{\cdot}{x} (t) - b \overset{\cdot}{y} (t) + c x (t) - 9 d \overset{\cdot \cdot}{y} (t) = - b \overset{\cdot}{y} (t) + b \overset{\cdot}{x} (t) + e y (t) - 1$

Igenom att sätta alla derivator och andra gradsderivator till noll så kan jag säga att $e = \frac{1}{y (t)}, c = \frac{9}{x (t)}$

OK! Men då kommer jag till något som heter egenvärden! Egenvärden är egentligen ett mått på hur snabbt systemet är. För snabbt system så kan systemet få riktiga sväningar. För segt system så tar det mycket lång tid. Sedan finns det tillfällen där systemet är helt enkelt ostabilt.

Jag skriver systemet på andra graden:

$\overset{\cdot}{h_{1}} = h_{2} a \overset{\cdot}{h_{2}} = b h_{2} - b h_{4} + c h_{1} - 9 \overset{\cdot}{h_{3}} = h_{4} d \overset{\cdot}{h_{4}} = - b h_{4} + b h_{2} + e h_{3} - 1$

Jag gör en matris av modellen - Jag beskriver A matrisen på tillståndsform:

$A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{c}{a} & \frac{b}{a} & 0 & \frac{b}{a} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{b}{d} & \frac{e}{d} & \frac{b}{d} \end{matrix}]$

Sedan tar jag jämför determinanten med en karaktärisk ekvation.

$d e t (s * I - A) \equiv s^{2} + 2 ζ ω s + ω^{2} \Leftrightarrow d e t (s * [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{c}{a} & \frac{b}{a} & 0 & \frac{b}{a} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{b}{d} & \frac{e}{d} & \frac{b}{d} \end{matrix}]) \equiv s^{2} + 2 ζ ω s + ω^{2}$

Då kan man bestämma värden på $ζ, ω$ som bestämmer en viss karaktär på ett stegsvar. Eller hur? Visst kan man göra så här?

Ingen som vet hur man ska göra?

Jag VET iallafall att egenvärden är ett mått på hur snabbt ett system är. Positiva egenvärden och systemet är ostabilt. Negativa och det är stabilt. Men för negativa kan få systemet att gunga till rejält.

Har ni några förslag?

Svara

Visa senaste svar