dimension och egenvärden av T

a)uppgiften har jag kommit fram till genom definitionen av linjära avbildningar

dock när det kommer till b uppgiften kommer jag fram till genom uträckningen av T(p(x)) =0 att p(x) behöver vara ett tal för att det ska gälla vilket gör att nulldim(T) = 1 men förstår inte hur jag ska få fram rank(T), jag vet att nulldim(T) + rank(T) = n då avbildnings matrisen för T är n x m matris. samt uppgift c vet jag inte hur jag ska starta.

Hur ska jag göra på b respektive c ?

b) Dimensionen av P_n är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

P_n har en standardbas $\{x^{n}, x^{n - 1}, . . . . ., x, 1\}$

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

$T_{n} (x^{n}) = (x + 2) (x^{n})' = (x + 2) (n x^{n - 1}) = n x^{n} + 2 n x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 1}) = (x + 2) (x^{n - 1})' = (x + 2) ((n - 1) x^{n - 2}) = 0 x^{n} + (n - 1) x^{n - 1} + 2 (n - 1) x^{n - 2} + 0 x^{n - 3} + . . . . . + 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 2}) = (x + 2) (x^{n - 2})' = (x + 2) ((n - 2) x^{n - 3}) = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + (n - 2) x^{n - 2} + 2 (n - 2) x^{n - 3} + 0 x^{n - 4} + . . . . . + 0 x + 0 . . . T_{n} (x) = (x + 2) (x)' = x + 2 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 1 x + 2 T_{n} (1) = (x + 2) (1)' = 0 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 A v b i l d n i n g s m a t r i s e n b l i r d å [\begin{matrix} n & 0 & 0 & . & 0 & 0 \\ 2 n & n - 1 & 0 & . & 0 & 0 \\ 0 & 2 (n - 1) & n - 2 & . & 0 & 0 \\ . & 0 & 2 (n - 2) & . & . & 0 \\ 0 & . & . & . & 1 & . \\ 0 & 0 & 0 & . & 0 & 0 \end{matrix}]$

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

Mohammad Abdalla skrev:
b) Dimensionen av P_n är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

P_n har en standardbas $\{x^{n}, x^{n - 1}, . . . . ., x, 1\}$

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

$T_{n} (x^{n}) = (x + 2) (x^{n})' = (x + 2) (n x^{n - 1}) = n x^{n} + 2 n x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 1}) = (x + 2) (x^{n - 1})' = (x + 2) ((n - 1) x^{n - 2}) = 0 x^{n} + (n - 1) x^{n - 1} + 2 (n - 1) x^{n - 2} + 0 x^{n - 3} + . . . . . + 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 2}) = (x + 2) (x^{n - 2})' = (x + 2) ((n - 2) x^{n - 3}) = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + (n - 2) x^{n - 2} + 2 (n - 2) x^{n - 3} + 0 x^{n - 4} + . . . . . + 0 x + 0 . . . T_{n} (x) = (x + 2) (x)' = x + 2 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 1 x + 2 T_{n} (1) = (x + 2) (1)' = 0 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 A v b i l d n i n g s m a t r i s e n b l i r d å [\begin{matrix} n & 0 & 0 & . & 0 & 0 \\ 2 n & n - 1 & 0 & . & 0 & 0 \\ 0 & 2 (n - 1) & n - 2 & . & 0 & 0 \\ . & 0 & 2 (n - 2) & . & . & 0 \\ 0 & . & . & . & 1 & . \\ 0 & 0 & 0 & . & 0 & 0 \end{matrix}]$

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

varför är dimensionen av P = n + 1?

och varför är standard basen den xˆn....... ?

Mohammad Abdalla skrev:
b) Dimensionen av P_n är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

P_n har en standardbas $\{x^{n}, x^{n - 1}, . . . . ., x, 1\}$

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

$T_{n} (x^{n}) = (x + 2) (x^{n})' = (x + 2) (n x^{n - 1}) = n x^{n} + 2 n x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 1}) = (x + 2) (x^{n - 1})' = (x + 2) ((n - 1) x^{n - 2}) = 0 x^{n} + (n - 1) x^{n - 1} + 2 (n - 1) x^{n - 2} + 0 x^{n - 3} + . . . . . + 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 2}) = (x + 2) (x^{n - 2})' = (x + 2) ((n - 2) x^{n - 3}) = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + (n - 2) x^{n - 2} + 2 (n - 2) x^{n - 3} + 0 x^{n - 4} + . . . . . + 0 x + 0 . . . T_{n} (x) = (x + 2) (x)' = x + 2 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 1 x + 2 T_{n} (1) = (x + 2) (1)' = 0 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 A v b i l d n i n g s m a t r i s e n b l i r d å [\begin{matrix} n & 0 & 0 & . & 0 & 0 \\ 2 n & n - 1 & 0 & . & 0 & 0 \\ 0 & 2 (n - 1) & n - 2 & . & 0 & 0 \\ . & 0 & 2 (n - 2) & . & . & 0 \\ 0 & . & . & . & 1 & . \\ 0 & 0 & 0 & . & 0 & 0 \end{matrix}]$

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

Detta är väl rätt avbildnings matris då n = 3

Om vi tar ett exempel på p₃, alltså alla polynom som har högst grad 3, dvs alla polynom av formen a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀.

En sån polynom kan skrivas entydigt som en linjär kombination av elementerna i B= $\{e_{1} = x^{3}, e_{2} = x^{2}, e_{3} = x, e_{4} = 1\}$

T.ex:

Om vi har polynomet f(x)= -3x³+2x²+1 så kan vi skriva det f(x)=-3e₁+2e₂+0e₃+1e₄

Detta betyder att B är en bas i p₃ och eftersom B har 4 element i sig så är dimensionen av p₃ är 4=(3+1).

Jaghatarfysik skrev:
Mohammad Abdalla skrev:
b) Dimensionen av P_n är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

P_n har en standardbas $\{x^{n}, x^{n - 1}, . . . . ., x, 1\}$

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

$T_{n} (x^{n}) = (x + 2) (x^{n})' = (x + 2) (n x^{n - 1}) = n x^{n} + 2 n x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 1}) = (x + 2) (x^{n - 1})' = (x + 2) ((n - 1) x^{n - 2}) = 0 x^{n} + (n - 1) x^{n - 1} + 2 (n - 1) x^{n - 2} + 0 x^{n - 3} + . . . . . + 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 2}) = (x + 2) (x^{n - 2})' = (x + 2) ((n - 2) x^{n - 3}) = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + (n - 2) x^{n - 2} + 2 (n - 2) x^{n - 3} + 0 x^{n - 4} + . . . . . + 0 x + 0 . . . T_{n} (x) = (x + 2) (x)' = x + 2 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 1 x + 2 T_{n} (1) = (x + 2) (1)' = 0 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 A v b i l d n i n g s m a t r i s e n b l i r d å [\begin{matrix} n & 0 & 0 & . & 0 & 0 \\ 2 n & n - 1 & 0 & . & 0 & 0 \\ 0 & 2 (n - 1) & n - 2 & . & 0 & 0 \\ . & 0 & 2 (n - 2) & . & . & 0 \\ 0 & . & . & . & 1 & . \\ 0 & 0 & 0 & . & 0 & 0 \end{matrix}]$

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

Detta är väl rätt avbildnings matris då n = 3

Du har skrivit koordinaterna som rader inte kolonner.

Mohammad Abdalla skrev:
Jaghatarfysik skrev:
Mohammad Abdalla skrev:
b) Dimensionen av P_n är inte n, utan n+1, vilket betyder att dimensionen av bildrummet blir n+1-1 = n.

c) Mitt förslag är: (Det kan finnas en enklare väg)

P_n har en standardbas $\{x^{n}, x^{n - 1}, . . . . ., x, 1\}$

Innan du läser min metod så kan du testa om n=3 (standardbasen är $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

Vi kan hitta avbildningsmatrisen genom att se hur standard basen avbildas

Innan du läser min metod så kan du testa att hitta avbildningsmatrisen när n=3 (standardbasen är då $\{x^{3}, x^{2}, x, 1\}$ )

$T_{n} (x^{n}) = (x + 2) (x^{n})' = (x + 2) (n x^{n - 1}) = n x^{n} + 2 n x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 1}) = (x + 2) (x^{n - 1})' = (x + 2) ((n - 1) x^{n - 2}) = 0 x^{n} + (n - 1) x^{n - 1} + 2 (n - 1) x^{n - 2} + 0 x^{n - 3} + . . . . . + 0 x + 0 T_{n} (x^{n - 2}) = (x + 2) (x^{n - 2})' = (x + 2) ((n - 2) x^{n - 3}) = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + (n - 2) x^{n - 2} + 2 (n - 2) x^{n - 3} + 0 x^{n - 4} + . . . . . + 0 x + 0 . . . T_{n} (x) = (x + 2) (x)' = x + 2 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 1 x + 2 T_{n} (1) = (x + 2) (1)' = 0 = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + 0 x^{n - 2} + . . . . 0 x + 0 A v b i l d n i n g s m a t r i s e n b l i r d å [\begin{matrix} n & 0 & 0 & . & 0 & 0 \\ 2 n & n - 1 & 0 & . & 0 & 0 \\ 0 & 2 (n - 1) & n - 2 & . & 0 & 0 \\ . & 0 & 2 (n - 2) & . & . & 0 \\ 0 & . & . & . & 1 & . \\ 0 & 0 & 0 & . & 0 & 0 \end{matrix}]$

Detta är en undertriangulär matris (Alla element över diagonalen är 0). Denna matris har egenvärden alla element i diagonalen, dvs n, n-1, n-2, ....,1 och 0.

Detta är väl rätt avbildnings matris då n = 3

Du har skrivit koordinaterna som rader inte kolonner.

varför ska man skriva de som koloner?

Vi tar ett exempel som inte är relaterad till uppgiften:

När (y₁, y₂, y₃)=T(x₁, x₂, x₃)=T(x₁e₁+ x₂e₂ +x₃e₃) $\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\}$ är en standardbas

=x₁T(e₁) + x₂T(e₂) + x₃T(e₃) Om vi säger att T(e₁)=(a, b, c) , T(e₂)=(d, e, f) och T(e₃)=(g, h, i)

(y₁, y₂, y₃) = x₁(a, b, c)+ x₂(d, e, f)+ x₃(g, h, i) Du ser här att y₁=ax₁+dx₂+gx₃

Detta kan skrivas på matrisform så här:

$[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]$

Så koordinaterna blir kolonner i matrisen inte rader.

Mohammad Abdalla skrev:
Vi tar ett exempel som inte är relaterad till uppgiften:

När (y₁, y₂, y₃)=T(x₁, x₂, x₃)=T(x₁e₁+ x₂e₂ +x₃e₃) $\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\}$ är en standardbas

=x₁T(e₁) + x₂T(e₂) + x₃T(e₃) Om vi säger att T(e₁)=(a, b, c) , T(e₂)=(d, e, f) och T(e₃)=(g, h, i)

(y₁, y₂, y₃) = x₁(a, b, c)+ x₂(d, e, f)+ x₃(g, h, i) Du ser här att y₁=ax₁+dx₂+gx₃

Detta kan skrivas på matrisform så här:

$[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]$

Så koordinaterna blir kolonner i matrisen inte rader.

Så i denna uppgift så är det så att

T(p(x)) = (x^n, x^n-1 ......)A

Alltså att x värden är i rad och inte kolon? Isåfall varför är de i rad och inte koloner, I exemplet du gav fattar jag varför de ska vara så men inte riktigt i denna uppgift fråga😅

Jag visar med ett exempel varför din matris inte stämmer utan transponaten av din matris som stämmer.

Din matris är A= $[\begin{matrix} 3 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

Låt oss ta f(x)=2x³+5x²+1= 2e₁+5e₂+0e₃+1e₄ så f(x) har koordinaterna $[\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ med avseende på standardbasen.

T(f(x))=(x+2)(6x²+10x)=6x³+22x²+20x=6e₁ + 22e₂+20e₃+0e₄ så T(f(x)) har koordinaterna $[\begin{matrix} 6 \\ 22 \\ 20 \\ 0 \end{matrix}]$

Om din matris (A) stämmer så måste

A $\times [\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} 6 \\ 22 \\ 20 \\ 0 \end{matrix}]$ testa om det stämmer.

Testa annars matrisens transponat.

Slutsats: Koordinaterna skrivs ALLTID som kolonner i avbildningsmatrisen.

Svara

Visa senaste svar