dimension av vektorrum

Antag att V₁ och V₂ är ändligdimensionella. Visa att det innebär att dim(V₁ + V₂) < $\infty$.

Tag en bas för V₁  och en för V₂ . Tag vidare en godtycklig vektor i V₁  och en godtycklig vektor i V₂ och skriv vektorerna som en lineärkomb i respektive bas. Addera och konstatera att denna vektorsumma kan skrivas i den sammanlagda basen som fortfarande är ändlig.

jag förstår fortfarande inte hur jag ska lösa uppgiften. Vad är det som gör att ett vektorrum är oädnlig eller ändligdimensionell. 

vad är defenitionen? 

Kolla här.

Du håller med om att planet är 2-dimensionellt eftersom det har 2 basvektorer. Låt mig visa ett annat exempel: Betrakta funktionerna 1, x, x² , x³ , …..  En funktion f som är oändligt många gånger deriverbar har en MacLaurinutveckling f=a₁ + a₂ x + a₃  x² + ….. Om du uppfattar detta som en lineärkombination av basvektorerna 1, x, x² , … så har du ett oändligdimensionellt rum.

Hur gick det med denna? Kom du vidare?

Nej:/ jag har svårt med det här att bevisa i matten. vet inte hur man ska börja och tänka. T.ex hur vet du att vi ska anta att V1 och V2 är ändligdimensionella

jag har iallafall börjat med att anta att V1 och V2 är ändligdimensionella. Alltså $dim{V}_1<\infty och V_2<\infty$.

Det innebär att de finns ändliga baser; $\alpha =\left\{v_1, v_2, ... v_n\right\} för V_1$ och $\beta =\left\{w_1, w_2, ... w_m\right\} för V_2$

dsvdv skrev:

Nej:/ jag har svårt med det här att bevisa i matten. vet inte hur man ska börja och tänka. T.ex hur vet du att vi ska anta att V1 och V2 är ändligdimensionella

Här tänker man som så att om båda har ändlig dimension och det leder till V1 + V2 har ändlig dimension så kan det inte vara så att båda har ändlig dimension eftersom vi vet att V1+V2 har oändlig dimension. Således måste åtminstone ett av delrummen ha oändlig dimension.

Det är inte lag på att man måste börja ändligdimensionellt. Det är en Möjllighet och en bra sådan. Varför? Jo för när man har visat att summan av två ändligdim vektorrum alltid är ändligdim, vad säger då logiken om du får en summa av två v-rum som är Oändligdim?

oke jag förstår. jag tycker bara att det är svårt att påbörja en uppgift där man ska bevisa nått.

hur ska jag gå vidare efter att visat att v1 o v2 har ändliga baser?

Visa att om V1 och V2 har ändlig dimension så har V1+V2 också ändlig dimension. Därför kan inte både V1 och V2 ha ändlig dimension eftersom det var givet att V1+V2 hade oändlig dimension.

Visa att $\alpha \cup \beta$ spänner upp V = V1 + V2. Dvs V spänns upp av en ändlig mängd av vektorer. Visa att det finns en bas B sådan att $B\subset \alpha \cup \beta$. Eftersom B är en delmängd av en ändlig mängd så är B ändlig och V har ändlig dimension.