Dimension av kvotrummet - bevis pt2

Vill visa dim(V/W) = dim(V) - dim(W)

Har gjort detta genom att hitta komplement W' till W sådan att $V = W \oplus W'$ Därmed kan vi skriva kvotavbildningen som $L : W' \overset{≅}{\to} V / W$ och nu vill jag visa att detta är en isomorfi mellan W' och V/W och därmed har dessa samma dimension.

Har börjat med att visa surjektivitet:

$V i l l s k r i v a v a r j e v e k t o r y i V / W s o m y = L (w') d ä r w' f i n n s i W U t n y t t j a r w' = v - w f r å n d i r e k t a s u m m a n . L (w') = L (v) - L (w) = [v] a l l t s å a l l a e k v i v a l e n s k l a s s e r a v v .$

Förstår inte riktigt hur vi drar slutsatsen att den är surjektiv från detta.

Tror tanken är att alla v kommer ha en komponent i w' som avbildas på rätt ekvivalensklass.

Är L: w’ $\mapsto$ [w’]? Jag antar att det är så du menar.

Låt y $\in$ V/W. Det finns då en vektor v $\in$ V sådan att y = [v].

Det finns dessutom vektorer u i W och u’ i W’ sådana att v = u + u’. Eftersom V är direkt summa av W och W’.

y = [v] = [u + u’] = [u] + [u’] = [0] + [u’] = [u’] = L(u’).

Således kan vi för varje y i V/W finna en vektor u’ i W’ sådan att L(u’) = y. L är således surjektiv.

Svara