dimension av en linjär avbildning

Hur definierar du dimensionen på en avbildning?

PATENTERAMERA skrev:

Hur definierar du dimensionen på en avbildning?

Så som jag har förstått det: 

Så om vi har en m*n-matris tänker jag mig att n som motsvarar våra kolloner anger går många "vektorer" vi har i vårt vektorrum V, där efter kommer avbildningen att motsvara den dimension som vi har m rader. 

Därmed tänker jag att Om jag har T: V -->W. Så kommer dim(T)=dim(W). 

Man brukar inte, så vitt jag vet, tala om dimensionen av en avbildning. Inte ett begrepp jag stött på.

Det är dock korrekt att säga att avbildningens definitionsmängd har dimensionen n och dess målmängd har dimensionen m - i exemplet med m x n-matris.

Dock finns det en viktig sats som säger att dim(V) = dim(T(V)) + dim(ker(T)) = rank(T) + Nullity(T).

Tråden handlar om matriser. Eftersom matriser av samma format har sluten addition och multiplikation med skalär så utgör de ett vektorrum. Det finns dessutom en bastant sats som säger att varje vektorrum har en bas, så förvisso finns det i det fallet en dimension. I allmänhet dock är funktionsrum oändligdimensionella.

Men då talar man inte om dimensionen hos en enskild avbildning, utan dimensionen av vektorrummet av alla linjära avbildningar från V till W - dvs dimensionen hos L(V, W).

Det gäller att dim(L(V, W)) = dim(V)$·$dim(W).

PATENTERAMERA skrev:

Men då talar man inte om dimensionen hos en enskild avbildning, utan dimensionen av vektorrummet av alla linjära avbildningar från V till W - dvs dimensionen hos L(V, W).

Det gäller att dim(L(V, W)) = dim(V)$·$dim(W).

Kan du förklara vad dim(L (V,W) ) betyder? 

Betyder det att dim( L(V) ) = dim ( L(W) ) 

alltså ( L(V) ) = dim ( L(W) ) = dim( L(V+W) ) 

L(V, W) är mängden av alla linjära avbildningar från V till W. Som Tomten nämner så kan man anse att L(V, W) bildar ett vektorrum, vars dimension är lika med produkten av dimensionerna hos V och W.