Dim V

hej, enligt satsen har vi att om antalet vektorer n utgör en bas för Vektorrummet så har vektorrummet dimensionen n, men det som jag undrar på, för att avgöra om vektorerna utgör en bas, ska vi lösa systemet i uppgiften och se om vi får en unik lösning, sedan ska vi avgöra om vektorerna är linjärt beroende. men vad blir dimensionen då. 

(1) Det sökta rummet V är nollrummet, ställ upp systemet på vanligt sätt och gausseliminera.

(2) En godtycklig reell symmetrisk 2x2 matris $A$ kan skrivas så här

$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{bmatrix}=a_{11}\begin{bmatrix}1&0\\0& 0\end{bmatrix}+a_{12}\begin{bmatrix}0&1\\1& 0\end{bmatrix}+a_{22}\begin{bmatrix}0&0\\0& 1\end{bmatrix}$

Kommer du vidare?

hej,

1) jag har ställt upp systemet och gauselimination ger att systemet saknär lösning. betyder detta att dimV=0, 

men vad innebär det om vi får en unik lösning eller oändligt många lösningar. 

2) hej, kan vi se {1 0, 0 0}, {0 1, 1 0}, {0 0, 0 1} var och en som baser för M

hej, med dimensionen av en matris menar vi rang av matrisen, dvs antalet linjär oberoende kolonner i matrisen, men betyder detta att vi har dimension 2

(1) Ja. Matrisen för ekvationssystemet blir

$\left[\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1 &0 \\1& 1& 1& -1& 0 \end{array}\right]$

Vi subtraherar rad 1 från rad 2

$\left[\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1 &0 \\0& 0& 0& -2& 0 \end{array}\right]$

Matrisen har rang två, dimensionen av nollrummet är därför 2. $x_1$ och $x_4$ är bundna, vi sätter $x_2=s$ och $x_3$=t

Alla lösningar $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ kan då skrivas så här:

$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0\end{bmatrix}$

En bas för nollrummet är således $(-1,1,0,0)^T, (-1,0,1,0)^T$

hej igen, detta betyder att dimV= antalet linjär oberoende kolonner =2

Ja, dimensionen för V är 2.

V är samma  sak som nollrummet till matrisen

$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&-1\end{bmatrix}$

nu blev det klart, eftersom den är mängd av alla lösningar

tack så mycket