Dihedrala gruppen D6

Jag tror att det borde vara k <6 eller k<=5

För att lösa en ekvation på formen

$axb=c$ där x är den okända så kan man från ett operationonellt perspektiv helt enkellt multiplicera element till höger och vänster om x med deras motsvarande inverser

$axb=c \Leftrightarrow a^{-1}axb b^{-1}=a^{-1}c b ^{-1} \Leftrightarrow x=a^{-1}c b ^{-1}$

Så hur konstruerar man inverser i dihedrala gruppen? Här hjälper det mycket om man vet vad gruppen representerar. $\rho$ representerar en rotation 1/6 av ett varv och $\sigma$ representerar en reflektion i någon linje, exempelvis x-axeln.

Så om man börjar med $\sigma$. Vad är inversen till en reflektion? Jo, reflektioner är alltid sina egna inverser. $\sigma \sigma = e$. Flip-flip och man är tillbaka.

Okej vi får

$\rho \zeta \rho^2=e$

Vad är inversen till $\rho$? Jo om man först roterar 1/6 av ett varv så behöver man ju därefter roterar 5/6 av ett varv för att komma tillbaka till startläget så $\rho^-1= \rho^5$. Från det

$\zeta \rho^2 = \rho^5$

och på samma vis $(\rho^2)^{-1}\rho^4$ så

$\zeta = \rho^5 \rho^4 = \rho^9 = \rho^3$

Eller en rotation ett halvt varv... Man kan göra dessa utärkningar axiomatiskt också snarare än inuitionalistiskt men då behöver man formulera axiomen för gruppen.

b) Huruvida en undergrupp är normal eller ej är inte direkt sammanbundet med dess ordning, och även om det finns relationer så är det inget i stil med att man kan utifrån att ordningen säg är jämn kan säga något om normalitet.

Gruppteori handlar mest om att mekaniskt tillämpa definitioner så vad är det som ska gälla för $\langle \rho \rangle$? Vad är definitionen... (Också, har du en förståtelse för vilka  operationer $\langle \rho \rangle$ representerar)

(a) Här gäller det att komma ihåg att $\sigma$ står för en reflektion längs någon diagonal i en regelbunden hexagon, och att $\rho$ står för en 60 graders-rotation. En konsekvens av detta är att $\sigma^2=1$ och att $\rho^6=1$ (är du med på varför?), vilket i sin tur innebär att $\sigma^{-1}=\sigma$ och att $\rho^{-1}=\rho^{5}$.

Detta kan vi unyttja för att lösa ekvationen!

Få bort $\sigma$ i VL genom att multiplicera med $\sigma$ från vänster i båda led:

$\sigma\rho\zeta\rho^2=\sigma$

$\sigma\sigma\rho\zeta\rho^2=\sigma\sigma$

$\rho\zeta\rho^2=1\,.$

Få bort det vänstra $\rho$:et genom att vänstermultiplicera med $\rho^5$:

$\rho^5\rho\zeta\rho^2=\rho^5$

$\zeta \rho^2=\rho^5\,.$

Få bort det högra $\rho^2$:et genom att högermultiplicera med $\rho^4$ (alternativt $\rho^{10}$):

$\zeta \rho^2\rho^{4}=\rho^5\rho^{4}\,.$

$\zeta\rho^6=\rho^9$

$\zeta=\rho^9$

$\zeta=\rho^6\rho^3$

$\zeta=\rho^3\,.$

En delgrupp av index 2 är alltid normal. Det är nog det de syftar på i lösningsförslaget.

Bevis för detta finns t.ex. här: https://proofwiki.org/wiki/Subgroup_of_Index_2_is_Normal

(b) Här har de, precis som Prontera skriver, utnyttjat ett klassiskt trick, nämligen att om en undergrupp har index 2, så måste den vara normal.

I ditt fall är $|D_6|=12$, medan $|N|=6$, vilket betyder att $|D_6:N|=12/6=2$. Alltså är $N$ normal.

Jag rekommenderar dock att du som övning även försöker övertyga dig om detta mer "direkt", genom att använda definitionen av "normal undergrupp", precis som SC föreslår. Enligt denna är $N$ normal om och bara om det för varje $a\in N$ och varje $x\in D_6$ gäller att $xax^{-1}\in N$.

Eftersom $N$ har 6 element och $D_6$ har 12 element så behöver du bara undersöka $6\cdot 12=32$ stycken fall! Det är helt klart görbart! Och om du börjar undersöka några olika kombinationer av $a$ och $x$ så kommer du nog inse att du inte behöver undersöka alla 32 stycken fallen heller :)

okej men hur får man fram att ordningen för N är 6? kommer det av $\rho :0\le k\le 6$ ? 

Precis! (Fast som SC påpekade ska det egentligen vara $0\leqslant k\leqslant 5$.)

Vi har

   $N=\langle\rho\rangle=\{1,\rho,\rho^2,\rho^3,\rho^4,\rho^5\}\,.$

Konkret kan detta tolkas som identiteten (ingen rotation alls eller rotation ett helt varv, rotation 1/6 av ett ett varv, rotation 2/6 av ett varv,... rotation 5/6 av ett varv.