Dihedral

Du behöver alltså hitta de element som har ordning 2 i $D_4$. Det är inte så svårt att bara testa sig fram och se vilka det är. Däremot så är jag lite fundersam om du skrivit rätt med $(\epsilon, \rho_3)$, ska det inte vara $(\epsilon, \rho_2)$?

Hm jag är inte riktigt med jag kan hitta ordningen på Z men när det kommer till D är jag inte helt med på hur man ska hitta ordningen. Nej i facit står det $\left(\epsilon ,{\rho }_3\right)$

Hmm, jag undrar om det inte är tryck fel i facit i sådana fall, för om jag förstår notationen rätt så är $\rho_3$ en rotation på "3 steg"?

För att kolla ordningen så är det bara att resonera sig fram, du har exempelvis att $\rho_1$ är en rotation på 1 steg. Om du gör fyra sådana rotationer så är du tillbaka där du började. Därför har $\rho_1$ ordningen 4. Samma resonemang för de övriga rotationerna.

Om man kollar på exempelvis en spegling, så kommer du tillbaka till ursprungliga positionen efter 2 appliceringar av speglingen, därför har alla speglingar ordningen 2.

ja då antar vi att det ska stå p2 istället.

Vi har identitetspermutationen $\epsilon$ i varje undergrupp. Sedan har vi p1 som rotation så långt är jag med. När det kommer till speglingen hur kommer det sig att vi får ${\mu }_{1,2,3,4}$ om vi utgår från ursprungsfiguren och speglar 2 gånger får vi ju tillbaka ursprungsfiguren, men om vi istället börjar i spegling med exempelvis ${\mu }_{1,3}$ kommer vi väl inte tillbaka till ursprungsfiguren med ett jämt antal speglingar?

Jag förstår nog inte riktigt vilken spegling $\mu_{1, 3}$ skulle vara?

Om man tar denna bild som lite hjälp med vad vi pratar om. Vilken spegling skulle $\mu_{1, 3}$ vara?

som jag förstår, om man då speglar med udda antal i detta fall 1 eller 3 så kommer ju figuren se likadan ut oavsett hur många udda gånger vi speglar den. Då kommer 1an och 4an att byta plats med 2an och 3an.

Menar du en lodrät spegellinje mitt i kvadraten? Vad händer om du speglar där två gånger?

Om 1an och 4an byter plats med 2an och 3an så ser den ju inte likadan ut? Jag menar, dom har ju bytt plats? Applicerar du speglingen igen så är du ju återigen på startpositionen och därmed är ordningen på speglingen två.

ja det är där jag har fastnat, byter 1an och 4an plats med 2an och 3an en gång får vi ju inte samma bild men byter dom plats två gånger får vi ju tillbaka samma bild. Därför förstår jag inte hur vi kan få ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3,{\eta }_4$ samtidigt eller menar dom alltså att varje spegling tar tillbaka ursprungsbilden efter ett jämt antal speglingar dvs ordning 2 men även då ordning 4 i nästa uppgift?

Okej, men nu byter du plötsligt notation så jag vet inte riktigt vad du skriver. Du har kommit fram till att ordningen på speglingarna är 2, det är helt korrekt.

När du senare ska hitta grupperna av ordning 4 så är inte det samma sak som att hitta de element som har ordning 4. Att en grupp har ordning fyra betyder alltså att det finns fyra element i gruppen, inte att elementen har ordning fyra.

Därför kan det vara så att element av ordning två ingår i en grupp som har ordning fyra.

okej jag är då med på den första uppgiften. Om man då tittar på b uppgiften så ska det finnas tre undergrupper av ordning 4 i D4. Detta innebär alltså att vi ska ha tre undergrupper med 4 element vardera om jag har förstått det rätt.

Jag är också med på att vi har identitetspermutationen i vardera grupp. Sedan ser jag i facit att grupperna är: $\left(\epsilon ,{\rho }_2,{\rho }_3,{\rho }_4\right),\left(\epsilon ,{\rho }_3,{\mu }_1,{\mu }_3\right),\left(\epsilon ,{\rho }_3,{\mu }_2,{\mu }_4\right)$

Men om man tittar på första gruppen, om vi roterar figuren först 2 steg, sedan 3 och sedan 4 kommer vi inte att få tillbaka ursprungsbilden så där är jag inte riktigt med i hur dom tänker.

Nej, det är om du gör samma sak 4 ggr du kommer tillbaka till ursprunget.

Jursla skrev :

okej jag är då med på den första uppgiften. Om man då tittar på b uppgiften så ska det finnas tre undergrupper av ordning 4 i D4. Detta innebär alltså att vi ska ha tre undergrupper med 4 element vardera om jag har förstått det rätt.

Jag är också med på att vi har identitetspermutationen i vardera grupp. Sedan ser jag i facit att grupperna är: $\left(\epsilon ,{\rho }_2,{\rho }_3,{\rho }_4\right),\left(\epsilon ,{\rho }_3,{\mu }_1,{\mu }_3\right),\left(\epsilon ,{\rho }_3,{\mu }_2,{\mu }_4\right)$

Men om man tittar på första gruppen, om vi roterar figuren först 2 steg, sedan 3 och sedan 4 kommer vi inte att få tillbaka ursprungsbilden så där är jag inte riktigt med i hur dom tänker.

Nu när du visar notationen för alla rotationer så blir det ju uppenbart att $\rho_3$ betyder en rotation med 2 steg. Du måste ju åtminstone se till så att du förstår notationen innan du börjar lös ett problem, om du inte ens vet vad som står så är det ju inte konstigt att uppgiften blir svår. Så på a uppgiften är det alltså korrekt att $(\epsilon, \rho_3)$ ska vara en grupp av ordning 2.

Sedan finns det ingen anledning till att att du skulle få tillbaka ursprungsbilden bara för att du applicerade $\rho_2$, $\rho_3$ och sedan $\rho_4$. Gruppen ska bara vara sluten under sammansättningen, vilket det är, det är ju gruppen av alla rotationer.

ja det är jag inte riktigt med på än hur man ska bevisa att den är sluten, jag vet att med en undergrupp så är den ju sluten om den har invers och identitetselement, samt $a,b\in G, så a*b\in G$ och den ska även vara associativ.

För undergrupper med vanliga siffror är jag med på hur man ska göra bedömningen men jag har problem att få till det med Dihedral gruppen.

Ja att rotationerna är slutna under sammansättning blir det väl egentligen ingen tvivel om, för jag antar att du är med på att om man gör en rotation och sedan en till rotation, så får man en rotation.

För de andra fallen, kan du kolla på Caylay tabellen kanske?

Tittar jag på cayley  tabellen ser jag att om man tar två element exempelvis $\rho 2{\rho }_3={\rho }_3{\rho }_2$ däremot är inte ${\mu }_2{\mu }_3={\mu }_3{\mu }_2$ och inte heller ${\rho }_2{\mu }_3={\mu }_3{\rho }_2$ alltså är väl inte gruppen symmetrisk

Däremot har vi identitetselement och invers som i båda fallen är $\epsilon$

Nej precis den är inte symmetrisk, men du ser att den är sluten?

ja den är väl sluten då vi inte har några andra element i  tabellen är som finns i gruppen vi har ju tex inte ${\rho }_5$ någonstans i tabellen

Japp det stämmer bra.

men det jag inte är med på är hur jag ska veta att jag inte ska ta med ${\rho }_1$ i gruppen.

Fast i den notation som du använder så verkar $\rho_1 = \epsilon$. Men anledningen till att du inte kan ha med $\rho_2$ (som är en rotation på ett steg), så har du ju då att

$\rho_2 \rho_2 = \rho_3$

måste ingå i gruppen, sedan måste

$\rho_3 \rho_2 = \rho_4$

ingå i gruppen. Så alltså måste alla rotationer ingå i gruppen om $\rho_2$ ingår i gruppen.

okej så det är därför vi får ${\rho }_3$ i samtliga grupper eftersom om vi har med ${\rho }_2$ måste vi ha med övriga rotationer och då får vi inte plats för speglingarna. Sedan ser jag att speglingarna med jämna tal 2 och 4 är i en grupp och speglingarna 1 och 3 i en annan, är det för att det krävs lika många upprepningar för speglingarna 1 och 3 för att få tillbaka originalbilden? samt lika många för 2 och 4, så därför är dom grupperade tillsammans?