Dihedral

Börja med att lösa ut $\zeta$. Du får att

$\rho\sigma \zeta \rho = \sigma \rho^3$

$\zeta = \sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma\rho^3 \rho^{-1}$

Sedan förenklar du det bara.

okej, jag kommer till $\zeta ={\rho }^{-1}{\rho }^3{\rho }^{-1}$ eftersom ${\sigma }^{-1}\sigma$ tar ut varandra, men hur tar ${\rho }^{-1}{\rho }^{-1}$ ut varandra?

Elementen kommuterar inte, så du kan inte bara säga att $\sigma$ och $\sigma^{-1}$ tar ut varandra. Utan det gäller att $\sigma \rho = \rho^{-1}\sigma$ och att $\sigma = \sigma^{-1}$. Därför får du att

$\sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma \rho^{3} \rho^{-1} = \sigma^2\rho \rho^{3} \rho^{-1} = \rho^{1 + 3 - 1} = \rho^{3}$

okej men ska man inte byta tecken på p när man flyttar över den till HL? så man får ${\rho }^{-1}\sigma {\sigma }^{-1}{\rho }^{-1}{\rho }^3$ jag får det att stämma om man har kvar det positiva tecket på p.

Jag förstår inte riktigt hur du har kommit fram till det där?

alltså om man ska flytta över termerna i VL till HL så fick vi att $\rho \sigma ={\rho }^{-1}\sigma$ men vad händer med den andra p vi har i VL när vi flyttar över den till HL?

Fast jag förstod inte riktigt hur det gick till, man löser ut det såhär

Multiplicera med $\rho^{-1}$ från vänster

$\rho^{-1}\rho\sigma \zeta\rho = \rho^{-1}\sigma\rho^3$

$\sigma\zeta\rho = \rho^{-1}\sigma\rho^3$

Multiplicera med $\sigma^{-1}$ från vänster

$\sigma^{-1}\sigma\zeta\rho = \sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma\rho^3$

$\zeta\rho = \sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma\rho^3$

Nu multiplicerar vi med $\rho^{-1}$ från höger

$\zeta\rho\rho^{-1} = \sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma\rho^3\rho^{-1}$

$\zeta = \sigma^{-1}\rho^{-1}\sigma\rho^3\rho^{-1}$

ja så långt har jag också kommit, men sedan förstår jag inte hur vi kommer till $\zeta ={\rho }^3$ eftersom vi nu har ${\rho }^{-1}$ två gångar borde vi inte då få $\zeta ={\rho }^3{\rho }^{-2}$ ?

Nej, som sagt så kommuterar inte elementen så du kan inte få det där till $\rho^{3}\rho^{-2}$. Det gäller att $\rho^{-1}\sigma = \sigma\rho$.

så då kan man skriva ut det som $\zeta ={\sigma }^{-1}\left(\sigma \rho \right){\rho }^{-1}{\rho }^3$ och kvar får vi då endast den sista termen.

Ja precis, den där omskrivningen är helt korrekt.

okej då förstår jag a uppgiften

När man sedan ska bestämma ordningen i b så ska svaret bli 2. Av någon anledning som har inte riktigt förstår så har dom kommit fram till svaret genom att sätta $\sigma {\rho }^{3}ejlikamed1$ och ${\left(\sigma {\rho }^3\right)}^2=\sigma {\rho }^3\sigma {\rho }^3=\sigma {\rho }^3\sigma {\rho }^{-3}\sigma =1$ och ord$\left(\sigma {\rho }^3\right)=2$

Ja dom börjar med att konstatera att $\sigma\rho^3 \neq 1$ eftersom det visar att ordningen inte är 1. Sedan testar dom om ordningen är 2 (jag gissar på att du råkade få med ett för mycket $\sigma$ i uttrycket). Så då räknar man helt enkelt så som dom gjorde och kommer fram till att man får $1$ vilket då innebär att ordningen är 2.

ja problemet är att jag inte riktigt är med på hur dom testar för ordningen, hur bestämmer man att ordningen är 2? 

Ordningen för ett element a är det minsta positiva heltal sådant att a^n = 1. Så det dom börjar med är att avgöra att 1 inte fungerar, eftersom $(\sigma\rho^3)^1 \neq 1$. Sedan testar dom med 2 som ordning, eftersom

$(\sigma\rho^3)^2 = \sigma\rho^3\sigma\rho^3 = \sigma\rho^3\rho^{-3}\sigma = 1$

Så får man alltså att det minsta positiva heltal n sådan att $(\sigma\rho^3)^n$ är $1$ är just 2. Då har man kommit fram till att ordningen är 2.

vi har alltså $\sigma {\rho }^3\sigma {\rho }^3$ använder man då att vi som tidigare kunde skriva om ${\rho }^{-1}\sigma =\sigma \rho$ så kan vi skriva om $\sigma {\rho }^3$ till ${\rho }^{-3}\sigma$ 

men vi har ju fortfarande kvar två $\sigma$

Japp det är så man gör. Sen har du ju att $\sigma^2 = 1$, reflekterar du två gånger så kommer du tillbaka till startpositionen.

okej vad bra då tänkte jag rätt.

För den sista uppgiften så står det att det neutrala elementet uppfyller ekvationen samt alla element av ordning 2. Svaret ska bli $S_n/\left\{\right(123),(132\left)\right\}$

men var får man 123,132 ifrån?

Ska det stå $S_3\backslash \left\{(1 2 3), (1 3 2)\right\}$? (Notera att det är viktigt att du vänder \ tecknet rätt eftersom det annars får en helt annan betydelse).

Du ska alltså hitta alla element som antingen har ordningen 1 eller ordningen 2. Du kan konstatera att detta är alla förutom elementen (1 2 3), (1 3 2). Så lösningen blir alltså alla element i $S_3$ förutom dessa element.

ja, fel av mig, det ska vara som du skrev, men jag förstår ändå inte hur man ska komma fram till vilka element som vi inte kan ha med i $S_3$

Du kan helt enkelt testa. Du har att

$(1\, 2\, 3)^2 = (1\, 3\, 2) \neq \epsilon$

samt att

$(1\, 3\, 2)^2 = (1\, 2\, 3) \neq \epsilon$

så detta är inte lösningar till ekvationen. Sedan har du ju kvar elementen (1 2), (1 3), (2 3), $\epsilon$, alla dessa är trivialt sin egen invers (vilket alltså betyder att alla dessa är lösningar till ekvationen). Därför är lösningarna till ekvationen alla element förutom (1 2 3), (1 3 2).

okej eftersom vi inte får tillbaka (123) då vi tar (123)^2 så finns den inte med i S3 och samma sak med (132), dock så får vi tillbaka (12)=(12) 

Nu vet jag inte riktigt om du förstod rätt, så för säkerhetsskull så förtydligar jag lite.

Du har alltså att (1 2 3) inte är en lösning till ekvationen $\zeta^2 = \epsilon$ eftersom det gäller att

$(1\,2\,3)^2 = (1\,3\,2) \neq \epsilon$

Liknande för (1 3 2). Men exempelvis så är (1 2) en lösning, eftersom

$(1\, 2)^2 = \epsilon$

Det samma gäller för (1 3) och (2 3), samt att trivialt så gäller det att 

$\epsilon^2 = \epsilon$

så även $\epsilon$ är en lösning.