diffirentaialformen. - Är den exakt.??

Om någon har bättre koll än mig får de gärna rätta mig, men jag tror att de undrar om det finns en funktion $F(x,y)$ sådan att $F_x(x,y)=\sin \left(xy\right)+xy\cos \left(xy\right)+2x$ och $F_y(x,y)=x^2\cos \left(xy\right)+e^y$.

Om det inte är det... då lämnar jag till någon annan som har bättre koll än mig.

EDIT: Det där gäller exakta differentialekvationer... glöm det.

Vad de menar med exakt? definition enligt Wikipedia

Smaragdalena skrev:

Vad de menar med exakt? definition enligt Wikipedia

så 

{ lilla omega skalärt med något = dFI/dx och lilla omega skalärt med något = dFI/dy

vad är mitt stora FI i uppgiften?

bump? :/

Jag tror du får bättre klarhet i hur du löser denna uppgift genom att översätta det hela till vektorfältet:

$\mathbf{F}=(\sin(xy)+xy\cos(xy)+2x,x^2\cos(xy)+e^y)$

Att $\omega$ är exakt innebär i detta fall samma sak som att vektorfältet är konservativt. Är vektorfältet konservativt?

När du sedan skall hitta en kurva $\gamma_1$ sådan att:

$\displaystyle\int_{\gamma_1}\omega=e-1$

blir detta samma sak som:

$\displaystyle\int_{\gamma_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=e-1$

Blir det tydligare hur du skall gå till väga då?

AlvinB skrev:

Jag tror du får bättre klarhet i hur du löser denna uppgift genom att översätta det hela till vektorfältet:

$\mathbf{F}=(\sin(xy)+xy\cos(xy)+2x,x^2\cos(xy)+e^y)$

Att $\omega$ är exakt innebär i detta fall samma sak som att vektorfältet är konservativt. Är vektorfältet konservativt?

När du sedan skall hitta en kurva $\gamma_1$ sådan att:

$\displaystyle\int_{\gamma_1}\omega=e-1$

blir detta samma sak som:

$\displaystyle\int_{\gamma_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=e-1$

Blir det tydligare hur du skall gå till väga då?

Ja nu fattar jag, tror jag? (Rätta mig om jag uttrycker mig fel matematsk också!)

1) jag sätter $$P(\omega) = \sin xy + xy \cos xy+  2x$$,
$Q(\omega) =x^2 \cos xy + e^{y}$

2) integrera varje term : 

$\frac{d \omega}{dx} \Rightarrow x^2 + x \sin xy + \phi(y)$

$\frac{d \omega}{dy} \Rightarrow e^y + x sin(x y) + \phi(x)$

3) Nu ska jag använda mig av $\omega(0,0)=0$, alltså ska vi alltså sätta $x=0$ och $y=0$ ger mig slutligen C. (eller vet inte hur man ska uttrycka det?)

$P(0,0) = \phi(y)$ och $Q(0,0) = \phi(x)$

4) fucked up.... :S

Ja, nu tror jag att du börjar hamna på rätt spår. Om vi skall vara lite mer matematiskt noggranna får vi börja med att säga att vi översätter differentialformen $\omega$ till ett vektorfält $\mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y))$ där $P(x,y)=\sin(xy)+xy\cos(xy)+2x$ och $Q(x,y)=x^2\cos(xy)+e^y$.

Att $\omega$ är exakt är samma sak som att vektorfältet $\mathbf{F}$ är konservativt. Detta visar du förslagsvis genom att visa att skalärrotationen, $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ (samma som i Greens formel), är lika med noll.

Att vektorfältet sedan är konservativt innebär att vi kan ta fram en potentialfunktion och använda den för att beräkna kurvintegraler genom fältet, som det ser ut att du börjat försöka göra. Du skall ju integrera den ena komponenten och sedan derivera den med avseende på den andra variabeln för att kunna lösa ut för den okända funktionen. Här är en tråd där du gjorde detta om du behöver fräscha upp minnet:

https://www.pluggakuten.se/trad/potentaialfalt/

Jag rekommenderar även att du döper potentialfunktionen till något annat, t.ex. $U(x,y)$; bokstaven $\omega$ används ju redan för något annat.

AlvinB skrev:

Ja, nu tror jag att du börjar hamna på rätt spår. Om vi skall vara lite mer matematiskt noggranna får vi börja med att säga att vi översätter differentialformen $\omega$ till ett vektorfält $\mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y))$ där $P(x,y)=\sin(xy)+xy\cos(xy)+2x$ och $Q(x,y)=x^2\cos(xy)+e^y$.

Att $\omega$ är exakt är samma sak som att vektorfältet $\mathbf{F}$ är konservativt. Detta visar du förslagsvis genom att visa att skalärrotationen, $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ (samma som i Greens formel), är lika med noll.

Att vektorfältet sedan är konservativt innebär att vi kan ta fram en potentialfunktion och använda den för att beräkna kurvintegraler genom fältet, som det ser ut att du börjat försöka göra. Du skall ju integrera den ena komponenten och sedan derivera den med avseende på den andra variabeln för att kunna lösa ut för den okända funktionen. Här är en tråd där du gjorde detta om du behöver fräscha upp minnet:

https://www.pluggakuten.se/trad/potentaialfalt/

Jag rekommenderar även att du döper potentialfunktionen till något annat, t.ex. $U(x,y)$; bokstaven $\omega$ används ju redan för något annat.

Tack så mkt, 

och när det kommer till tex, c- uppgiften? ska man tänka då att den "C" vi räknar fram i a) ska uppfylla e-1 då?

Eftersom fältet är ett potentialfält kan ju en integral längs kurvan $\gamma$ beräknas med:

$\displaystyle\int_\gamma \omega=U\left(\mathbf{b}\right)-U\left(\mathbf{a}\right)$

där $\mathbf{a}$ och $\mathbf{b}$ är kurvan $\gamma$:s ändpunkter. Du skall alltså hitta punkter $\mathbf{a}$ och $\mathbf{b}$ som gör att potentialskillnaden blir lika med $e-1$. Har du någon aning om hur du kan göra detta?

AlvinB skrev:

Eftersom fältet är ett potentialfält kan ju en integral längs kurvan $\gamma$ beräknas med:

$\displaystyle\int_\gamma \omega=U\left(\mathbf{b}\right)-U\left(\mathbf{a}\right)$

där $\mathbf{a}$ och $\mathbf{b}$ är kurvan $\gamma$:s ändpunkter. Du skall alltså hitta punkter $\mathbf{a}$ och $\mathbf{b}$ som gör att potentialskillnaden blir lika med $e-1$. Har du någon aning om hur du kan göra detta?

Nääe. känns som en uppg jag faktiskt sitter och klurar på nu (nämligen denna)

typ? eller?

Den uppgiften har också med potentialfält att göra.

Fick du fram en potentialfunktion $U(x,y)$ till vektorfältet $\mathbf{F}$? Vad fick du i så fall?

AlvinB skrev:

Den uppgiften har också med potentialfält att göra.

Fick du fram en potentialfunktion $U(x,y)$ till vektorfältet $\mathbf{F}$? Vad fick du i så fall?

Har inte kommit så långt ännu, tkr dom är sååå svåra. !

Potentialfunktioner har du jobbat med förut (jag menar att du skall göra samma sak som här!), men om du glömt kan jag börja.

En potentialfunktion till $\mathbf{F}$ uppfyller ju differentialekvationerna:

$\dfrac{\partial U}{\partial x}=\sin\left(xy\right)+xy\cos\left(xy\right)+2x$

$\dfrac{\partial U}{\partial y}=x^2\cos\left(xy\right)+e^y$

Vi behöver alltså lösa dessa får att få fram $U(x,y)$. Vi kan börja med att integrera $y$-ekvationen med avseende på $y$ (det går lika bra att börja med $x$) för att få ett uttryck för $U(x,y)$:

$\displaystyle U\left(x,y\right)=\int\frac{\partial U}{\partial y}\ dy=\int x^2\cos\left(xy\right)+e^y\ dy=...$

Nu kommer du att få ett uttryck för $U(x,y)$ innehållande en okänd funktion $\varphi(x)$ enbart beroende av $x$. För att ta reda på denna funktion deriverar du ditt uttryck med avseende på $x$ och jämför med $\partial U/\partial x$ vilket låter dig identifiera $\varphi'(x)$ och därmed ta fram $\varphi(x)$. Klarar du det?

AlvinB skrev:

Potentialfunktioner har du jobbat med förut (jag menar att du skall göra samma sak som här!), men om du glömt kan jag börja.

En potentialfunktion till $\mathbf{F}$ uppfyller ju differentialekvationerna:

$\dfrac{\partial U}{\partial x}=\sin\left(xy\right)+xy\cos\left(xy\right)+2x$

$\dfrac{\partial U}{\partial y}=x^2\cos\left(xy\right)+e^y$

Vi behöver alltså lösa dessa får att få fram $U(x,y)$. Vi kan börja med att integrera $y$-ekvationen med avseende på $y$ (det går lika bra att börja med $x$) för att få ett uttryck för $U(x,y)$:

$\displaystyle U\left(x,y\right)=\int\frac{\partial U}{\partial y}\ dy=\int x^2\cos\left(xy\right)+e^y\ dy=...$

Nu kommer du att få ett uttryck för $U(x,y)$ innehållande en okänd funktion $\varphi(x)$ enbart beroende av $x$. För att ta reda på denna funktion deriverar du ditt uttryck med avseende på $x$ och jämför med $\partial U/\partial x$ vilket låter dig identifiera $\varphi'(x)$ och därmed ta fram $\varphi(x)$. Klarar du det?

Alltså, försökte integrera det där. Men jag vet iiinte hur man gör det, testade göra på wolfram; https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdy(x%5E2*cos(xy)%2Be%5Ey)

e^y - 1/2 i e^(-i x y) x^3 + 1/2 i e^(i x y) x^3 what...

AlvinB skrev:

Den uppgiften har också med potentialfält att göra.

Fick du fram en potentialfunktion $U(x,y)$ till vektorfältet $\mathbf{F}$? Vad fick du i så fall?

ang.

eftersom vi har $\frac{dU}{dx}, \frac{dU}{dy}, \frac{dU}{dz}$
och om jag tar första; 

$\int \frac{dU}{dx} = (axy+2z) dx = \frac{ax^2y}{2}+2xy+yz(\phi)$ då, eller? eller hur blir det med "konstanten"?

Starta en tråd om det där problemet, det blir så rörigt annars.

Wolfram Alpha är inte så hjälpsamt här, det blir bättre om man gör jobbet själv!

Jag antar att du vet att integralen av $e^y$ är $e^y$. Det svåra blir därför att beräkna:

$\displaystyle\int x^2\cos\left(xy\right)\ dy$

Du kan då utnyttja att $x$ betraktas som konstant när vi integrerar med avseende på $y$. Vi får därför:

$\displaystyle\int x^2\cos\left(xy\right)\ dy=x^2\int\cos\left(xy\right)\ dy=x^2\cdot\frac{\sin(xy)}{x}+\varphi\left(x\right)=x\sin\left(xy\right)+\varphi\left(x\right)$

(där jag utnyttjat att antiderivatan för $\cos(xy)$ är $\sin(xy)/x$, delat på $x$ kommer av den inre derivatan av $xy$)

Hänger du med på det?

AlvinB skrev:

Starta en tråd om det där problemet, det blir så rörigt annars.

Wolfram Alpha är inte så hjälpsamt här, det blir bättre om man gör jobbet själv!

Jag antar att du vet att integralen av $e^y$ är $e^y$. Det svåra blir därför att beräkna:

$\displaystyle\int x^2\cos\left(xy\right)\ dy$

Du kan då utnyttja att $x$ betraktas som konstant när vi integrerar med avseende på $y$. Vi får därför:

$\displaystyle\int x^2\cos\left(xy\right)\ dy=x^2\int\cos\left(xy\right)\ dy=x^2\cdot\frac{\sin(xy)}{x}+\varphi\left(x\right)=x\sin\left(xy\right)+\varphi\left(x\right)$

(där jag utnyttjat att antiderivatan för $\cos(xy)$ är $\sin(xy)/x$, delat på $x$ kommer av den inre derivatan av $xy$)

Hänger du med på det?

Ahh okej. Så sedan så ska den deriveras m.a.p x? 

efter det, så ska den sättas lika med ursprungs $\frac{dU}{dx}$ för att lösa ut kontanten?

Just det, men det är ju inte en konstant, utan en funktion av $x$, $\varphi(x)$.