Differentialekvation - Homogen och Partikulär

Homogen differentialekvation

"En homogen differentialekvation består endast av y och dess derivator, utan andra funktioner av x i ekvationen."

Alltså måste du ha en homogen lösning och en partikulär lösning om ovan inte uppfylls, alltså om differentialekvationen är inhomogen till skillnad från homogen.

Om man t ex vill lösa diffekvationen f'(x)+f(x)=cos(2x) så behöver man dels en homogen lösning, d v s en lösning till diffekvationen f'(x)+f(x)=0 och EN partikulärlösning, d v s man behöver hitta EN funktion som ger rätt HL för att hitta ALLA lösningar till diffekvationen - det finns ett antal variabler i lösningen som gör att det är ALLA lösningar (fast inget som garanterar att de ser ut som i  facit...). Om HL = 0 så behöver man inte någon partikulärlösning.

Så om jag har till exempel: Ay''+By'+Cy=D

Där, A, B, C och D är funktioner. Då behöver jag båda lösningarna? 

Soderstrom skrev:

Så om jag har till exempel: Ay''+By'+Cy=D

Där, A, B, C och D är funktioner. Då behöver jag båda lösningarna? 

Om A, B, C och D är funktioner är du inte intresserad av homogena lösningar alls, eftersom det i så fall inte är en homogen diffekvation alls. Om A, B och C är konstanter och D = 0 är du bara intresserad av den homogena lösningen. Om A, B och C är konstanter och D är en funktion av x är du intresserad av både den homogena lösningen och en partikulärlösning.

Tack så mycket Ebola och Smaragdalena!!

Jag är osäker på terminologin, men för en linjär ickehomogen differentialekvation, t. ex. y' + xy = 2x, kan man väl uttrycka lösningarna som $y_h(x) + y_p(x)$, där $y_p(x)$ är en partikulärlösning och $y_h(x)$ är den generella lösningen till y' + xy = 0.