differentierbarhet
Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Colegate skrev:Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Jag tror du ska använda definitionen av differentierbarhet. Se Denna video nedan:
destiny99 skrev:Colegate skrev:Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Jag tror du ska använda definitionen av differentierbarhet. Se Denna video nedan:
destiny99 skrev:Colegate skrev:Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Jag tror du ska använda definitionen av differentierbarhet. Se Denna video nedan:
Edit: T.e.x på uppgift 2.11 c) får jag arcsin(-2h-h^2-4k-k^2)-3pi/2. Hur ska man visa att detta uppfyller ekvationen?
Colegate skrev:destiny99 skrev:Colegate skrev:Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Jag tror du ska använda definitionen av differentierbarhet. Se Denna video nedan:
Edit: T.e.x på uppgift 2.11 c) får jag arcsin(-2h-h^2-4k-k^2)-3pi/2. Hur ska man visa att detta uppfyller ekvationen?
Vad händer om vi väljer h och k sådana att h^2+k^2 går mot 0 längs två olika vägar med olika tecken på 2h+4k? Enklast om vi tänker oss att vi närmar oss punkten (1,2) längs (1+h,2) med h<0 respektive att vi närmar oss (1,2) längs (1,2+k) med k>0.
I båda fallen närmar vi oss arcsin(-1) men från olika håll.
Kalla h^2+k^2=r^2. Om funktionen vore differentierbar skulle det existera en funktion f(r) som går mot 0 när r går mot 0 sådan att
arcsin (-1+r^2+2h+4k)=-pi/2+Ah+Bk+rf(r)
för h,k tillräckligt nära noll är HL negativt (nära -pi/2) men för h,k godtyckligt nära noll kan VL (exvis när h är negativt och k= 0) vara ett positivt tal (nära pi/2).
Alltså inte differentierbar
Smutsmunnen skrev:Colegate skrev:destiny99 skrev:Colegate skrev:Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Jag tror du ska använda definitionen av differentierbarhet. Se Denna video nedan:
Edit: T.e.x på uppgift 2.11 c) får jag arcsin(-2h-h^2-4k-k^2)-3pi/2. Hur ska man visa att detta uppfyller ekvationen?
Vad händer om vi väljer h och k sådana att h^2+k^2 går mot 0 längs två olika vägar med olika tecken på 2h+4k? Enklast om vi tänker oss att vi närmar oss punkten (1,2) längs (1+h,2) med h<0 respektive att vi närmar oss (1,2) längs (1,2+k) med k>0.
I båda fallen närmar vi oss arcsin(-1) men från olika håll.
Kalla h^2+k^2=r^2. Om funktionen vore differentierbar skulle det existera en funktion f(r) som går mot 0 när r går mot 0 sådan att
arcsin (-1+r^2+2h+4k)=-pi/2+Ah+Bk+rf(r)
för h,k tillräckligt nära noll är HL negativt (nära -pi/2) men för h,k godtyckligt nära noll kan VL (exvis när h är negativt och k= 0) vara ett positivt tal (nära pi/2).
Alltså inte differentierbar
Yes exakt. Det framkommer dock att denna metod är i allmänhet mindre effektiv då en följdsats av beviset är att om en punkt (a,b) är kontinuerligt deriverbar runt (a,b) samt om funktionen är kontinuerlig i (a,b) så är den diff.bar! Beviset är såklart mer rigoröst, men tror inte det krävs för sådana uppgifter. Tack !! :).
Colegate skrev:Smutsmunnen skrev:Colegate skrev:destiny99 skrev:Colegate skrev:Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Jag tror du ska använda definitionen av differentierbarhet. Se Denna video nedan:
Edit: T.e.x på uppgift 2.11 c) får jag arcsin(-2h-h^2-4k-k^2)-3pi/2. Hur ska man visa att detta uppfyller ekvationen?
Vad händer om vi väljer h och k sådana att h^2+k^2 går mot 0 längs två olika vägar med olika tecken på 2h+4k? Enklast om vi tänker oss att vi närmar oss punkten (1,2) längs (1+h,2) med h<0 respektive att vi närmar oss (1,2) längs (1,2+k) med k>0.
I båda fallen närmar vi oss arcsin(-1) men från olika håll.
Kalla h^2+k^2=r^2. Om funktionen vore differentierbar skulle det existera en funktion f(r) som går mot 0 när r går mot 0 sådan att
arcsin (-1+r^2+2h+4k)=-pi/2+Ah+Bk+rf(r)
för h,k tillräckligt nära noll är HL negativt (nära -pi/2) men för h,k godtyckligt nära noll kan VL (exvis när h är negativt och k= 0) vara ett positivt tal (nära pi/2).
Alltså inte differentierbar
Yes exakt. Det framkommer dock att denna metod är i allmänhet mindre effektiv då en följdsats av beviset är att om en punkt (a,b) är kontinuerligt deriverbar runt (a,b) samt om funktionen är kontinuerlig i (a,b) så är den diff.bar! Beviset är såklart mer rigoröst, men tror inte det krävs för sådana uppgifter. Tack !! :).
Men i det här fallet är den inte diffbar! Observera att satsen du nämner inte är omvändbar!
Smutsmunnen skrev:Colegate skrev:Smutsmunnen skrev:Colegate skrev:destiny99 skrev:Colegate skrev:Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Jag tror du ska använda definitionen av differentierbarhet. Se Denna video nedan:
Edit: T.e.x på uppgift 2.11 c) får jag arcsin(-2h-h^2-4k-k^2)-3pi/2. Hur ska man visa att detta uppfyller ekvationen?
Vad händer om vi väljer h och k sådana att h^2+k^2 går mot 0 längs två olika vägar med olika tecken på 2h+4k? Enklast om vi tänker oss att vi närmar oss punkten (1,2) längs (1+h,2) med h<0 respektive att vi närmar oss (1,2) längs (1,2+k) med k>0.
I båda fallen närmar vi oss arcsin(-1) men från olika håll.
Kalla h^2+k^2=r^2. Om funktionen vore differentierbar skulle det existera en funktion f(r) som går mot 0 när r går mot 0 sådan att
arcsin (-1+r^2+2h+4k)=-pi/2+Ah+Bk+rf(r)
för h,k tillräckligt nära noll är HL negativt (nära -pi/2) men för h,k godtyckligt nära noll kan VL (exvis när h är negativt och k= 0) vara ett positivt tal (nära pi/2).
Alltså inte differentierbar
Yes exakt. Det framkommer dock att denna metod är i allmänhet mindre effektiv då en följdsats av beviset är att om en punkt (a,b) är kontinuerligt deriverbar runt (a,b) samt om funktionen är kontinuerlig i (a,b) så är den diff.bar! Beviset är såklart mer rigoröst, men tror inte det krävs för sådana uppgifter. Tack !! :).
Men i det här fallet är den inte diffbar! Observera att satsen du nämner inte är omvändbar!
Betyder det att det finns funktioner som inte uppfyller kraven och som ändå är diffbara? Betyder inte det att satsen är helt orelevant för att visa att funktioner inte är diff.bara?
Colegate skrev:Smutsmunnen skrev:Colegate skrev:Smutsmunnen skrev:Colegate skrev:destiny99 skrev:Colegate skrev:Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Jag tror du ska använda definitionen av differentierbarhet. Se Denna video nedan:
Edit: T.e.x på uppgift 2.11 c) får jag arcsin(-2h-h^2-4k-k^2)-3pi/2. Hur ska man visa att detta uppfyller ekvationen?
Vad händer om vi väljer h och k sådana att h^2+k^2 går mot 0 längs två olika vägar med olika tecken på 2h+4k? Enklast om vi tänker oss att vi närmar oss punkten (1,2) längs (1+h,2) med h<0 respektive att vi närmar oss (1,2) längs (1,2+k) med k>0.
I båda fallen närmar vi oss arcsin(-1) men från olika håll.
Kalla h^2+k^2=r^2. Om funktionen vore differentierbar skulle det existera en funktion f(r) som går mot 0 när r går mot 0 sådan att
arcsin (-1+r^2+2h+4k)=-pi/2+Ah+Bk+rf(r)
för h,k tillräckligt nära noll är HL negativt (nära -pi/2) men för h,k godtyckligt nära noll kan VL (exvis när h är negativt och k= 0) vara ett positivt tal (nära pi/2).
Alltså inte differentierbar
Yes exakt. Det framkommer dock att denna metod är i allmänhet mindre effektiv då en följdsats av beviset är att om en punkt (a,b) är kontinuerligt deriverbar runt (a,b) samt om funktionen är kontinuerlig i (a,b) så är den diff.bar! Beviset är såklart mer rigoröst, men tror inte det krävs för sådana uppgifter. Tack !! :).
Men i det här fallet är den inte diffbar! Observera att satsen du nämner inte är omvändbar!
Betyder det att det finns funktioner som inte uppfyller kraven och som ändå är diffbara? Betyder inte det att satsen är helt orelevant för att visa att funktioner inte är diff.bara?
Stämmer!
Exempelvis f(x,y)=(x2+y2)sin(1√x2+y2)f(0,0)=0
har diskontinuerliga partiella derivator i närheten av origo men är differentierbar. Känns kontraintuitivt men den oscillerar vildsint om vi närmar oss origo längs en linje men har ett horisontellt tangent plan i origo.
Smutsmunnen skrev:Colegate skrev:Smutsmunnen skrev:Colegate skrev:Smutsmunnen skrev:Colegate skrev:destiny99 skrev:Colegate skrev:Hej! Jag behöver hjälp med att förstå hur man visar att en funktion, eller en punkt på en funktion, är differentierbar. Min lärare har varit otroligt otydlig med detta, och jag har ingen aning om hur man ska gå till väga. Jag gör uppgifterna, men facit förklarar inte hur de kommer fram till sina lösningar, så jag vet inte om jag gör rätt eller inte.
Det jag brukar göra är att partiellt derivera funktionen (i x och y axeln!) för att se om den är elementär. Om den är elementär och definierad i ett område runt punkten, antar jag att den är differentierbar. Är det korrekt? Om inte, hur ska man gå till väga?'
Här är också några exempel uppgifter:
Jag tror du ska använda definitionen av differentierbarhet. Se Denna video nedan:
Edit: T.e.x på uppgift 2.11 c) får jag arcsin(-2h-h^2-4k-k^2)-3pi/2. Hur ska man visa att detta uppfyller ekvationen?
Vad händer om vi väljer h och k sådana att h^2+k^2 går mot 0 längs två olika vägar med olika tecken på 2h+4k? Enklast om vi tänker oss att vi närmar oss punkten (1,2) längs (1+h,2) med h<0 respektive att vi närmar oss (1,2) längs (1,2+k) med k>0.
I båda fallen närmar vi oss arcsin(-1) men från olika håll.
Kalla h^2+k^2=r^2. Om funktionen vore differentierbar skulle det existera en funktion f(r) som går mot 0 när r går mot 0 sådan att
arcsin (-1+r^2+2h+4k)=-pi/2+Ah+Bk+rf(r)
för h,k tillräckligt nära noll är HL negativt (nära -pi/2) men för h,k godtyckligt nära noll kan VL (exvis när h är negativt och k= 0) vara ett positivt tal (nära pi/2).
Alltså inte differentierbar
Yes exakt. Det framkommer dock att denna metod är i allmänhet mindre effektiv då en följdsats av beviset är att om en punkt (a,b) är kontinuerligt deriverbar runt (a,b) samt om funktionen är kontinuerlig i (a,b) så är den diff.bar! Beviset är såklart mer rigoröst, men tror inte det krävs för sådana uppgifter. Tack !! :).
Men i det här fallet är den inte diffbar! Observera att satsen du nämner inte är omvändbar!
Betyder det att det finns funktioner som inte uppfyller kraven och som ändå är diffbara? Betyder inte det att satsen är helt orelevant för att visa att funktioner inte är diff.bara?
Stämmer!
Exempelvis f(x,y)=(x2+y2)sin(1√x2+y2)f(0,0)=0
har diskontinuerliga partiella derivator i närheten av origo men är differentierbar. Känns kontraintuitivt men den oscillerar vildsint om vi närmar oss origo längs en linje men har ett horisontellt tangent plan i origo.
Så enda sättet att undersöka om en funktion är differentierbar är via definitionen. Lite segt med hur trasslig den är :/. Men tack för hjälpen :)!
Nja, bara för att klargöra: Om du vill visa att en funktion är diffbar räcker det att visa att den har kontinuerliga partiella derivatorer, enligt satsen du nämnde. För att visa att den inte är diffbar kan du kolla på kontinuitet hos funktionen själv. Eftersom diffbarhet => kontinuitet måste diskontinuitet => funktionen ej är diffbar.
Det gäller att hålla tungan rätt i mun när man hanterar implikationer.
MrPotatohead skrev:Nja, bara för att klargöra: Om du vill visa att en funktion är diffbar räcker det att visa att den har kontinuerliga partiella derivatorer, enligt satsen du nämnde. För att visa att den inte är diffbar kan du kolla på kontinuitet hos funktionen själv. Eftersom diffbarhet => kontinuitet måste diskontinuitet => funktionen ej är diffbar.
Det gäller att hålla tungan rätt i mun när man hanterar implikationer.
Vad användbart, tack så jätte mycket!!!!!!