Differentierbarhet

Hur visar du differentierbarhet för en flervariabel funktion?

SaintVenant skrev:

Hur visar du differentierbarhet för en flervariabel funktion?

Med definitionen ovan

Om det finns reella konstanter? De kan kanske nämna att $A_i$ är partiella derivator i punkten.

Jag tycker att denna definition är en enklare beskrivning av samma sak fast begränsad till två dimensioner:

Först och främst avgör vi om de partiella derivatorna existerar i punkten. Sedan ska vi bedöma om gränsvärdet existerar och är noll. Med avstamp i detta blir det enklare att förstå vad du ska göra, tror jag.

Även om definitionen du ska använda är ganska konstig så får du alltså:

$e^{h_1+2h_2+6} - e^6 = e^6 h_1+ 2e^6 h_2+\sqrt{h_1^2+h_2^2} \rho(h_1,h_2)$

Där jag då använt att:

$A_{1} =\dfrac{ \partial f}{\partial x}|_{(2,2)}=e^6$

$A_{2} =\dfrac{ \partial f }{\partial y} |_{(2,2)}=2e^6$

I gränsvärdet $\lim_{(h_1,h_2)\rightarrow (0,0)}$ så får du noll i vänsterled och noll i högerled. Jag antar att det är tillräckligt. Annars får du väl bryta ut och visa att:

$\lim_{(h_1,h_2)\rightarrow (0,0)} \rho\left(h_1,h_2\right) =0$

Förslagsvis med byte till polära koordinater.