Differentialkalkyl

Menar du $\log_a x$ ?

$a_{\log x =\hspace{0.17em}x}$ , ska det vara. Förlåt för otydligheten. 

Men du skrev "Jag ser att alog(x) - x = 0 kan skrivas om till ln(x)/ln(a) -x = 0."

$a \cdot \log x \neq \frac{\ln x}{\ln a}$ (Där $\log$ är tiologaritmen). 

Enligt min kurslitteratur är $a_{\log x =\hspace{0.17em}\frac{\ln x}{\ln a}}$. 

Det kanske är jag som skrivit fel, är inte helt 100 på hur latex används. Det är inte $a\log x$ jag försöker skriva utan $a_{\log }$. 

Hej!

Vill du bestämma alla tal (x) som löser ekvationen

    (a-logaritmen för x) = x?

Albiki

P.S. Det står inte (a minus logaritmen för x).

Här är alltså uppgiften, och enligt min kurslitteratur ska VL vara = $\frac{\ln x }{\ln a}$

Hej!

Då är det så som jag skrivit, som du kan kontrollera genom att sätta a = e. Det sedvanliga beteckningssättet för a-logaritm är  $\log_a$ som redan skrivits i tråden.

Du vill alltså studera lösningar till ekvationen $\log_a x = x$.

• Man ser omedelbart att eventuella lösningar är positiva tal.
• Man ser också att eventuella lösningar måste ligga i intervallet [1,oo), eftersom vänsterledet är negativt om 0<x<1.
• Man ser att $x=1$ är inte en lösning, eftersom $\log_a 1 = 0.$

Eventuella lösningar måste alltså ligga i det öppna intervallet (1,oo).

Albiki

Studera nollställen till funktionen

    $f(x) = \ln x - x\ln a$ där $x > 1$;

det gäller ju att om $f(x) = 0$ så är $\log_{a} x = x.$

Albiki

Funktionens derivata

    $f'(x) = \frac{1}{x} - \ln a$

är positiv på intervallet $1 < x < \frac{1}{\ln a}$ och negativ på intervallet $x > \frac{1}{\ln a}$; för att detta ska vara meningsfullt måste det gälla att $1<a<e$.

Funktionen $f$ är följaktligen växande på intervallet $(1,\frac{1}{\ln a})$ och avtagande på intervallet $(\frac{1}{\ln a},\infty)$.

Det gäller att

    $f(\frac{1}{\ln a}) = -(1+\ln\ln a)$.

För att funktionen $f$ ska ha en chans att ha nollställen måste det gälla att

    $\ln\ln a < -1$, vilket betyder att $1<a<e^{\frac{1}{e}}.$

Albiki