18 svar

111 visningar

Differentialkalkyl

Hej, kan någon hjälpa mig med följande uppgift:

Sätt f(x,y)= $x^{y}$ $x \geq 0$

Bestäm alla punkter i vilka $\frac{d f}{d x} = \frac{d f}{d y}$

Ska man börja med att derivera $x^{y}$ m.a.p.x och sedan m.a.p.y? då får man väl i så fall yx samt $x^{1}$ =x

Hej!

När du deriverar med avseende på x ska du hålla y konstant. Om du deriverar funktionen x^c med avseende på x, vad får du då? cx?

Albiki

Hej!

När du deriverar med avseende på y ska du hålla x konstant. Vad får du om du deriverar a^x med avseende på x? Funktionen x?

Albiki

Hej!

För att förtydliga mitt föregående inlägg, vad får du om du deriverar funktionen a^y med avseende på y? Blir det funktionen y?

Albiki

Hej!

En snabb huvudräkning säger att svaret bör bli sambandet y = x/ln(x), men det ska du ta med en nypa salt eftersom det var en hastig uträkning.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
När du deriverar med avseende på x ska du hålla y konstant. Om du deriverar funktionen x^c med avseende på x, vad får du då? cx?
Albiki

Om jag deriverar x blir det ju 1 och c är en konstant, blir det inte bara 1^c kvar då? och då borde ju även a^y bli a vid derivering m.a.p.y då y blir 1

Du skriver att derivatan av x^2 är 1^2 alltså 1. Har du aldrig stött på att derivatan av x^2 är 2x?

goljadkin skrev :
Albiki skrev :
Hej!
När du deriverar med avseende på x ska du hålla y konstant. Om du deriverar funktionen x^c med avseende på x, vad får du då? cx?
Albiki
Om jag deriverar x blir det ju 1 och c är en konstant, blir det inte bara 1^c kvar då? och då borde ju även a^y bli a vid derivering m.a.p.y då y blir 1

Nej.

$f (x, y) = x^{y}$

$\frac{d f}{d x}$ är derivatan av f med avseende på x ("x-derivatan" av f), du får fram den genom att derivera f med avseende på x som om y vore en konstant. Vad får du om du deriverar $x^{y}$ med avseende på x?

Tips:

x-derivatan av $x^{2}$ är $2 x$

x-derivatan av $x^{3}$ är $3 x^{2}$

Vad är då x-derivatan av $x^{y}$ (om y kan betraktas som en konstant, enklare än du kanske tror)?

$\frac{d f}{d y}$ är derivatan av f med avseende på y ("y-derivatan" av f), du får fram den genom att derivera f med avseende på y som om x vore en konstant. Vad får du om du deriverar $x^{y}$ med avseende på y?

Tips:

y-derivatan av $a^{y}$ är $a^{y} \cdot \ln (a)$ , (där a > 0)

Vad är då y-derivatan av $x^{y}$ (om x kan betraktas som en konstant)?

okej så x derivatan av x^y blir då yx och derivatan av f m.a.p y blir x^y*ln(x)

Nej! Det verkar som om du behöver repetera deriveringsreglerna - eller åtminstone titta på dem ordentligt i ditt formelblad.

Blir det inte

$\frac{d f}{d x} = y x^{y - 1}$ och $\frac{d f}{d y} = x^{y} \times \ln (x)$

goljadkin skrev :
Blir det inte
dfdx=yxy-1 och dfdy=xy×ln(x)

Jo det stämmer.

Vet du hur du ska gå vidare nu?

nej inte riktigt, svaret är: På kurvan y=xlnx, $x \geq 0$

Uppgiften går ut på att bestämma alla de punkter där det gäller att $\frac{d f}{d x} = \frac{d f}{d y}$

Dvs du ska lösa ekvationen $\frac{d f}{d x} = \frac{d f}{d y}$

Kan du formulera den ekvationen?

Du har ju tagit fram ett uttryck för $\frac{d f}{d x}$ och ett uttryck för $\frac{d f}{d y}$

Okej, så jag har nu $y x^{y - 1} = x^{y} \times \ln (x)$

Jag vet att svaret ska bli y=xlnx

Jag ser ju att jag har xlnx redan men jag är inte säker på hur man ska komma fram till y=xlnx

Dela båda leden med $x^{y - 1}$ . Då blir det bara en etta kvar i VL , och i HL blir det x. Repetition från Ma1.

smaragdalena skrev :
Dela båda leden med $x^{y - 1}$ . Då blir det bara en etta kvar i VL , och i HL blir det x. Repetition från Ma1.

Nja om vi ska vara petiga så blir det y kvar i VL. Och ngt annat uttryck i HL.

Så blir det bara en etta (respektive x) kvar av x-uttrycket, borde jag ha skrivit. Det var underförstått, tänkte jag.

smaragdalena skrev :
Så blir det bara en etta (respektive x) kvar av x-uttrycket, borde jag ha skrivit. Det var underförstått, tänkte jag.

Jag förstod det. Men jag har märkt att det ibland lätt blir lite förvirrat här i trådarna. :-)

Svara

Visa senaste svar