Differentialkalkyl

Kan du bestämma tangentplanen för ytorna? Två plan skär varann i en rät linje, nämligen den sökta tangenten.

För att bestämma tangentplanet för $x^2+2y^2+3z^2=6$ satte jag (2x,4y,6z) = (2*1),(4*1),(6*1) = (2,4,6) = (1,2,3)

Tangentens ekvation: (1,2,3)*(x-1,y-1,z-1)

(x-1)+(2y-2)+(3z-3)  = x+2y+3z -6

Om jag sedan tar x^2+y^2+z^2 får jag fram (x+y+z-3)

Hur ska man gå vidare efter det? svaret blir inte som i facit.

Minustecken på y^2 och z^2. Du har nu fått fram två tangentplan. Hur hittar du skärningslinjen?

så blir tangentplanen nu  x+2y+3z-6 och  x-y-z-3 ?

så nästa steg blir att hitta skärningslinjen.

så nu har jag

2y = -x-3z+6

y = -x+z+3

svaret ska bli (x,y,z)=(1,1,1)+t(1,4,-3)

(1,1,1) får jag från punkten (1,1,1) i början av frågan men jag får inte till t(1,4,-3)

jag provade att sätta in de två ekvationerna till ett ekvationssystem

2 -1-3-6

1 -1 1 3

men efter jag radreducerade fick jag (1 0 -4 3) och (0 1 -5 0)

Inget av dom gav mig rätt svar så någonstans har jag gjort fel.

Om du eliminerar y och z från dina ekvationer får du y^2 = 4 x^2 -3 och z^2 = 4 - 3 x^2. Nära (1, 1, 1) är alla positiva, så skärningslinjen i parameter form kan skrivas som: 

(t, sqrt(4t^2 - 3), sqrt(4-3t^2))

Derivera komponenter med avseende på t, sätt t=1 och då har du riktningsvektor för tangentlinjen. Flytta linjen så att den går genom (1,1,1) och du är hemma

jag förstår inte riktigt, hur får du $y^2=4x^2-3$ och $z^2=4-3x^2$

Okej, nu har jag fått mina ekvationer till

x+2y+3z-6 och x-y-z-1, blir det rätt?

sen hade jag tänkt att sätta in dom i ett ekvationssystem men har inte lyckats få fram rätt svar.

Du har skrivit två uttryck men ingen ekvation.

om jag sätter in båda uttrycken i en ekvation som

x+2y+3z-6=x-y-z-1

så går ju x bort och jag får 3y+4z=5

jag kommer tyvärr inte närmare svaret genom det så någonstans gör jag fel.

Ena tangentplanets ekvation är x+2y+3z-6=0. Hur ser andra tangentplanets ekvation ut. (En ekvation ska ha ett likhetstecken.)

blir det inte x-y-z-1=0

Nästan men eftersom det planet inte går genom punkten 1,1,1 är något fel.

Ja, tyvärr har jag fastnat här. Jag hade antingen x-y-z-3 eller med -1, men jag tror tyvärr att båda är fel.

Du vet att 1,-1,-1 är vinkelrät mot planet, alltså att det är av typen x-y-z=k. Konstanten k ska väljas så att planet går genom 1,1,1.

Jag är osäker på hur man ska lösa k i uppgiften. Jag försökte att sätta in ekvationerna i ett ekvationssystem. Är inte konstanten k det jag fick när jag räknade ut x-y-z-1 alt x-y-z-3?

Du vill att planet skall gå genom punkten x=1, y=1, z=1, d v s att x=1, y=1, z=1 är en lösning till ekvationen x-y-z=k. Sätt in värdena på x, y och z och beräkna k.

då får jag 1-1-1=k så k=-1

Men hur tar jag mig därifrån till att få (1,1,1)+t(1,4,-3)

Det som är kvar är att hitta skärningslinjen mellan planen x+2y+3z=6 och x-y-z=-1. (Men jag är fortfarande inte säker på att du förstår hur man får fram tangentplanets ekvation. Du skrev nu x-y-z-1 och x-y-z-3 men inget av dom uttrycken är en ekvation. Fråga gärna mer om det du inte förstår här.) En linje genom (1,1,1) skrivs alltid i parameterform som (1,1,1)+t(a,b,c) där vektorn (a,b,c) är linjens riktningsvektor. Eftersom linjeriktningen är vinkelrät mot båda planens normaler (1,2,3) och (1,-1,-1) måste den vara kryssprodukten mellan dessa.

okej jag förstår kryssprodukten nu och får fram rätt riktningsvektor men vad händer med konstanttermen 6 och -1?

Dom har ingen betydelse längre eftersom du vet att linjen ska gå genom (1,1,1).