Differentialgeometri - parallell transport, geodesics

Utan det har jag inte någon aning.

Smaragdalena skrev:

Gissa vad jag skulle börja med?

Rita!

Utan det har jag inte någon aning.

Jo visst, utan en bild över situation blir det knepigt. Problemet är att jag inte vet hur jag kan använda parallell transport algebraiskt och visa detta (om det ens är meningen att visa detta algebraiskt...).

Har du ritat upp sfären och tangenten? 

Hur definieras "parallell transport" i din bok? Vad betyder "geodesic?

Smaragdalena skrev:

Har du ritat upp sfären och tangenten? 

Hur definieras "parallell transport" i din bok? Vad betyder "geodesic?

En geodesic (geodetisk på svenska??) är en kurva $\gamma : [a,b] \to S$ på en yta S sådan att $\forall p\in S, \gamma \text{'}\text{'}\left(p\right)\parallel N\left(p\right)$, för en normal $N$ till varje punkt $p$ på ytan.

Parallell transport definieras som följande i min bok:

Men jag tappar bort mig ganska fort i definitionen också tyvärr. Parallell transport är alltså ett vektorfält mellan tangentrummen för punkterna på ytan av ändpunkterna av $\gamma$, som avbildar varje tangentvektor i tangentrummet till vektorn av parallella vektorfältet längs $\gamma$ i punkten $b$, sådan att det parallella vektorfältets värde i $a$ är lika med den ursprungliga tangentvektorn...?

Parallell vektorfält definieras som ett vektorfält där den kovarianta derivatan är lika med 0 för alla punkter i definitionsmängden för $\gamma$.

Hur man ska kunna explicit hitta det parallella vektorfältet förstår jag inte, vilket kanske är det man behöver göra för min uppgift?

Nej, det här lyckas inte jag heller tyda och översätta till en ritbar bild.

Ett tips (som för övrigt alltid är bra att tänka på när man står inför ett svårt problem) är att börja med att undersöka något specialfall som är lite enklare/tydligare att föreställa sig rent visuellt eller som ger enklare beräkningar. I det här fallet tycker jag du ska börja med att fundera på vad som händer när $\varphi=90^\circ$.

Vidare så kan det vara en bra idé att parametrisera de båda meridianerna. Enklast är då att rotera koordinatsystemet så att den första meridianen har en enkel parametrisering, t.ex. $t\mapsto ({\cos(t),\sin(t),0})$, och sedan fundera på vad den andra meridianen kan tänkas ha för parametrisering, om vinkeln mellan de båda är $\varphi$.

Dessutom håller jag med Smaragdalena om att du borde försöka rita någon slags figur (och gärna ladda upp här i tråden), om du inte redan har gjort det, så att vi har något visuellt att resonera kring. Om du är osäker på hur parallelltransport ser ut kan få lite inspiration till din figur om du gör en bildsökning med valfri sökmotor.

Kör du fast är det bara att säga till igen, så hjälper jag eller någon annan här gärna dig vidare.

Tack, det här är vad jag försökt rita lite halvdant, men parallelltransport bilden blev lite missvisande tror jag, men så här blev det:

Och den här:

Men jag vet inte hur jag ska kunna visa någonting med hjälp av parallelltransporten...

Jamen visst! Om $\varphi=90^\circ$ så kan meridianerna parametriseras som $\gamma_1,\gamma_2:[0,2\pi]$ med $\gamma_1(t)=(\cos(t),\sin(t),0)$ och $\gamma_2(t)=(\cos(t),0,\sin(t))$. Låt oss nu gå igenom lösningen i det här specialfallet bit för bit.

Vi börjar med att bestämma "startvektorn" $w_0$. Enligt uppgiften ska den helt enkelt vara tangentvektorn till $\gamma_1$ vid $t=0$. Vi deriverar därför $\gamma_1$, och får då

$\dot\gamma_1(t)=(-\sin(t),\cos(t),0),$

vilket i sin tur ger

$w_0=\dot\gamma_1(0)=(0,1,0)\,.$

Vi ska nu parallell-transportera $w$ via de båda meridianerna, till den punkt där de möts, vilket med de parametriseringar som vi gjorde ovan motsvarar $t=\pi$.

Vi börjar med att parallellförflytta längs med $\gamma_1$. Enligt utdrage ur din bok som du postade tidigare så betyder detta att vi ska hitta ett vektorfält längs med kurvan $\gamma_1$ [dvs. en slät funktion $X:[0,2\pi]\to TS$, som till varje tidpunkt väljer en tangentvektor $X(t)\in T_{\gamma_1(t)}S$] som är parallellt [dvs. $\nabla_{\dot\gamma_1}X=0$] och som uppfyller $X(0)=w_0$.

Detta är enkelt i just det här fallet, eftersom vektorn vi vill parallellförflytta kom från kurvan vi vill parallellförflytta längs med, som dessutom råkar vara en geodet. Vi kan därför sätta

$X(t)=\dot\gamma(t)=(-\sin(t),\cos(t),0)$ (dubbelkolla så att detta verkligen fungerar!).

Enligt utdraget ur din bok får vi nu att parallell-förflyttningen blir

$w_1=P_{\gamma_1}(w_0)=X(\pi)=(0,-1,0)\,.$

Kolla gärna så att detta känns visuellt rimligt utifrån din figur!

Att parallellförflytta längs den andra meridianen är lite svårare, men här kan vi dra nytta av att $\varphi=90^\circ$.

Vi vill på samma sätt som innan hitta ett parallellt vektorfält $Y:[0,2\pi]\to TS$ längs med $\gamma_2$ sådant att $Y(0)=(0,1,0)$. Eftersom vi befinner oss på en sfär så är det enkelt att se att vilkoret $[Y(t)\in T_{\gamma_2(t)}S\:\forall t]$ är ekvivalent med $[Y(t)\perp \gamma_2(t)\:\forall t]$.

Funderar man på det rent geometriskt, eller provar sig fram lite, så kommer man fram till att det konstanta vektorfältet $Y(t)\equiv (0,1,0)$ gör jobbet. (Dubbelkolla detta!)

Vi får därmed att

$w_2=P_{\gamma_2}(w_0)=Y(\pi)=(0,1,0)$.

Vi kan nu direkt se att vinkeln mellan $w_1$ och $w_2$ är $180^\circ$, dvs. dubbelt så mycket som $\varphi=90^\circ$. Vi hade även kunnat beräkna detta med hjälp av skalärprodukten i $\mathbb{R}^3$, som ju för godtyckliga vektorer $u,v\in\mathbb{R}^3$ uppfyller formeln $\langle u,v\rangle=|u||v|\cos(\theta)$, där $\theta$ är vinkeln mellan $u$ och $v$. I vårt fall hade detta gett $\cos(\theta)=\langle w_1,w_2\rangle=-1$, vilket i sin tur ger $\theta=180^\circ$.

Hänger du med på detta? Är det någon bit som känns oklart? Om allt känns okej, så är nästa steg att fundera på vad som händer för en godtycklig vinkel $\varphi$.

Hittade precis en bild på Wikipedia som stämmer bra med situationen när $\varphi=90^\circ$. Vi kan tänka oss att den röda kurvan är $\gamma_1$ och att den blå kurvan är $\gamma_2$, och att kurvorna startar vid "nordpolen" och går ner mot "sydpolen". Dock har pilarna i så fall fel riktning (de borde peka i rakt motsatt riktning), och bilden visar bara parallelltransporten från "nordpolen" fram till ekvatorn, så du får själv föreställa dig vad som händer sista biten fram till "sydpolen":

Länk till Wikimedia Commons: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Connection-on-sphere.png.

Tack så hemskt mycket oggih!

Jag får ta och kika över det här noga, så återkommer jag nog på söndag med fler frågor. 

Rent spontant dock så förstår jag inte hur du kommer fram till respektive vektorfält, speciellt$Y\left(t\right)$, samt varför ekvivalensen $\left[Y\right(t)\in T_{{\gamma }_2\left(t\right)}S \forall t] \iff \left[Y\right(t)\perp {\gamma }_2(t) \forall t]$ är sann. Om Y(t) ligger i tangentrummet (i punkten) av gamma, då borde väl det inte gälla att Y(t) är normal mot gamma (om Y(t) ligger i tangentrummet är den ju inte normal mot gamma)?

Din hjälp uppskattas verkligen!

Det är lurigt det här, och jag är egentligen lite för trött för att tänka just nu, men visst är det så att för vilken punkt $p\in S$ som helst på sfären, så gäller det att $v\in T_pS\Leftrightarrow v\perp p$?

Eller uttryckt med andra ord: varje tangentvektor vid $p$ är vinkelrät mot vektorn från origo till $p$.

När det gäller vektorfältet $Y$ längs med $\gamma_2$ så tycker jag det är rätt visuellt tydligt från bilden som jag länkade ovan att det är en parallelltransport av $w_0$. Det man behöver dubbellkolla är att $\nabla_{\dot\gamma_2}Y=0$ (vilket är självklart eftersom $Y$ är konstant), och att $Y(t)\in T_{\gamma_2}S$ för alla $t$.

Intuitivt kan du kanske tänka dig att någon står uppe vid nordpolen, sträker ut sin arm rakt åt höger, och sedan börjar vandra ner mot sydpolen längs med $\gamma_2$ samtidigt som personen i varje steg försöker se till att armen inte ändrar riktning i sfärens tangentplan. Då känns det kanske typ rimligt att personen kan åstadkomma detta genom att helt enkelt bara fortsätta hålla armen rakt åt höger under hela sin färd.

Motsvarande liknelse går att göra för den andra parallelltransporten. Om personen sträcker ut sin arm rakt frammåt, och börjar vandra längs med $\gamma_2$ samtidigt som hen försöker undvika att armen i varje steg inte gör någon tangentiella riktningsändring, så borde detta gå att åstadkomma genom att bara fortsätta hålla armen utsträckt rakt fram i näsans riktning.

Men visst, normalt sett kan man ju inte förlita sig på att det är "visuellt" tydligt hur man ska parallelltransportera något längs någon viss parametriserad kurva på någon viss parametriserad yta, utan då måste man i stället lösa differentialekvationen $\nabla_{\dot\gamma}X$ för att få fram ett paralllt vektorfält. Den här Youtube-videon förklarar detta ganska bra, och använder just en sfär som exempel:

https://www.youtube.com/watch?v=Af9JUiQtV1k

Dock använder han en helt annan notation, och flera lite mer sofistikerade koncept som Christoffel-symboler, men vad vet jag, hans sätt att skriva kanske passar mycket bättre ihop med vad din bok/föreläsare gör, så det kanske ändå är till någon hjälp! :-)

By the way: Jag började precis fundera på om fallet med godtyckligt $\varphi$ eventuellt blir enklare om man låter $\gamma_2$ vara fixerad i $xy$-planet, och i stället låter $\gamma_1$ bero på $\varphi$. Jag är för trött för att testa detta ordentligt, men det kan kanske ändå vara värt att ha i åtanke om du kör fast när du försöker generalisera resonemanget ovan.

Om jag inte är helt fel ute kan man visa att parallelltransportsfunktionerna $P_{\gamma_1}$ och $P_{\gamma_2}$ är linjära, vilket också kan underlätta lite (om man nu verkligen kan övertyga sig själv om att de är linjära), men min ursprungliga tanke var inte att utnyttja detta.

Får jag bara säga att det här är fett coolt. 

Jo, det har du rätt i, en normal till sfären i en punkt p är ju helt enkelt $N\left(p\right)=p$, så vektorer i tangentrummet i punkten p måste då vara vinkelräta till vektorn på punkten p i sfären. 

Vi har snabbt pratat om Christoffel-symbolerna som koefficienter till en vektor i basen $\{{\sigma }_u, {\sigma }_v, N\}$, för en surface patch (svenska?) sigma, om jag minns rätt. (det är bara en introduktionskurs typ, mer rigoröst blir det nog i en kurs i Riemann geometri? så jag tror inte vi förväntas använda Christoffel-symbolerna någonting i den här kursen utan att veta att dom finns och hur dom definieras typ).

Jag tänker mig att man alltid, WLOG låter $C_1={\gamma }_1\left(t\right)=\left(\cos \right(t), 0, \sin (t\left)\right)$, (eftersom vi alltid bara kan rotera sfären) och sedan roterar denna meridian runt z-axeln (eftersom $C_1$ ligger i xz-planet). Vi får alltså för en godtycklig $\phi \in [0, \mathrm{\pi }]$, att den andra meridianen $C_2$ är: $C_2={\gamma }_2\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\phi \right)& -\sin \left(\phi \right)& 0\\ \sin \left(\phi \right)& \cos \left(\phi \right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \left(t\right)\\ 0\\ \sin \left(t\right)\end{array}\right]=\left(\cos \right(\phi \left)\cos \right(t), \sin (\phi \left)\cos \right(t), \sin (t\left)\right)$.

Egentligen är ju $C_1, C_2$ "trace" av ${\gamma }_1, {\gamma }_2$, men jag var lite slarvig ovan.

Stämmer detta till att börja med? 

Det ser ut som en bra början!

Ifall du behöver mer hjälp så kommer här en lite mer utförlig outline för hur jag tänker mig att man kan lösa problemet. Notera att fallet $\varphi=90^\circ$ som vi diskuterade tidigare är en viktig del av lösningen, så det är viktigt att du förstår den biten ordentligt.

Notera även att jag följer min kommentar från tidigare, om att det är bättre att fixera $C_2$ än $C_1$. Jag har därför än en gång ändrat koordinatssystem (sorry!), så det här skiljer sig lite både mot vad jag gjorde tidigare och mot vad du precis gjorde, men idéerna är så klart de samma ändå. 

Ytterligare en kommentar innan vi börjar är att det själklart är mycket tydligare att skriva alla vektorer i $\mathbb{R}^3$ som kolumnvektorer, precis som du gjorde här ovan (och det är även så jag har skrivit när jag har jobbat på det här problemet med papper och penna). Men det tar ganska stor plats på skärmen, och det är lite jobbigt att göra i LaTeX, så här skriver jag allt som tripplar i stället.

Med allt detta sagt, let's get to work!

Eftersom sfären är rotationssymmetrisk börjar vi med att konstatera att vi WLOG kan anta att $C_2$ ligger i $xy$-planet, och välja parametriseringarna $\gamma_1,\gamma_2:[0,2\pi]\to S$ definierade av $\gamma_2(t)=({\cos(t),\sin(t),0})$ och $\gamma_1(t)=({\cos(t),\cos(\varphi)\sin(t),\sin(\varphi)\sin(t)})$ (vilken rotationsmatris har jag använt här?) för $C_2$ respektive $C_1$.

Vi konstaterar snabbt att "startvektorn" $w_0$ ges av

$w_0=\dot\gamma_1(0)=(0,\cos(\varphi),\sin(\varphi))\,.$

Vi vill nu parallelltransportera $w_0$ längs dels $\gamma_1$ och dels $\gamma_2$ till punkten där de båda meridianerna möts, vilket med de valdra parametriseringarna motsvarar tidpunkten $t=\pi$.

Vi börjar med att parallelltransportera längs med $\gamma_1$.

Eftersom $\gamma_1$ är en geodet, och $w_0$ är en tangentvektor till $\gamma_1$, är detta en lätt match.

Det är enkelt att verifera (gör detta!) att $X:[0,2\pi]\to TS$ definierad av $X(t)=\dot\gamma(t)$ är ett vektorfält längs med kurvan $\gamma_1$ [dvs. $X(t)\in T_{\gamma_1(t)}S$ för alla $t$], som dels är parallellt [dvs. $\nabla_{\dot\gamma_1}X=0$] och dels uppfyller $X(0)=w_0$.

Vi får därmed att $P_{\gamma_1}\!(w_0)=X(\pi)=\dot\gamma_1(\pi)=-w_0$ (dubbellkolla sista steget!).

Nästa steg är att parallelltransportera längs med $\gamma_2$.

Här börjar vi med att undersöka två specialfall: dels $\varphi=90^\circ$ och dels $\varphi=0^\circ$. 

I fallet $\varphi=90^\circ$ får vi $w_0=(0,0,1)$ (kontrollera att detta är visuellt rimligt). För parallelltransporten väljer vi det konstanta vektorfältet $Y:[0,2\pi]\to TS$ med $Y(t)=(0,0,1)$ för alla $t$. (Försök förstå varför detta val är visuellt rimligt, och verifiera att det verkligen är ett vektorfält, och att det är parallellt.) Vi får därmed att $P_{\gamma_2}\!(w_0)=Y(\pi)=(0,0,1)$.

I fallet $\varphi=0^\circ$ överensstämmer $\gamma_2$ med $\gamma_1$. Vi får att $w_0=(0,1,0)$, och vi kan välja vektorfältet $Y:[0,2\pi]\to TS$ med $Y(t)=\dot\gamma_2(t)=(-\sin(t),\cos(t),0)$ (verifiera att detta fungerar!), och vi får att $P_{\gamma_2}\!(w_0)=Y(\pi)=(0,-1,0)$.

För ett generellt $\varphi$ kan vi notera att

$w_0=(0,\cos(\varphi),\sin(\varphi))=\cos(\varphi)(0,1,0)+\sin(\varphi)(0,0,1)=\cos(\varphi)w_0^{0^\circ}+\sin(\varphi)w_0^{90^\circ}\,,$

dvs. $w_0$ blir en snygg linjärkombination av de startvektorer vi fick i specialfallen som vi just undersökte. Baserat på detta känns det rimligt att prova att göra motsvarande linjärkombination av de två parallelltransporterna vi använde tidigare. Mer precist så provar vi med $Y:[0,2\pi]\to TS$ definierad av

$Y(t)=\cos(\varphi)Y^{0^\circ}\!(t)+\sin(\varphi)Y^{90^\circ}\!(t)=\cos(\varphi)(-\sin(t),\cos(t),0)+\sin(\varphi)(0,0,1)\,.$

Verifiera att detta verkligen är ett vektorfält längs med $\gamma_2$, att det är parallellt (här underlättar det att komma ihåg att $\nabla_{\dot\gamma_2}$ är en linjär operator), och att $Y(0)=w_0$. 

Vi får nu att $P_{\gamma_2}\!(w_0)=Y(\pi)=\cos(\varphi)(0,1,0)+\sin(\varphi)(0,0,1)=(0,-\cos(\varphi),\sin(\varphi))$.

Vi kan nu beräkna vinkeln mellan $P_{\gamma_1}(w_0)$ och $P_{\gamma_2}(w_0)$ med hjälp av skalärprodukten i $\mathbb{R}^3$. Detta tyckte jag var väldigt tillfredställande när jag gjorde det själv, så jag skriver inte ens ut det för att undvika att spoila det för dig! ^_^

Eller okej, det skadar kanske inte att skriva ner det ändå, för fullständighetens skull, men jag använder i alla fall spoilerfunktionen:

Har det frågor eller om något är oklart (det är sent på kvällen, så jag kan ha tänkt fel!) är det som vanligt bara att säga till. Det är också mycket möjligt att det finns snyggare eller bättre sätt att göra detta på. Kommer du på något sånt får du också hemskt gärna säga till!

Tack så sjukt mycket oggih, otroligt hur mycket energi du lagt ned på det här!

Jag ska se över ditt inlägg så återkommer jag imorgon, tack!

Nu har jag kommit fram till lite frågor. Jag hänger nästan med på hela lösningen, och skulle nästan kunna säga/verifiera att det här är en lösning om jag skulle fått det i uppgift istället. Problemet är att jag inte själv skulle kunna lösa exempelvis en liknande uppgift. 

Till att börja med, när du väljer ett vektorfält som inte är typ $X\left(t\right)=\gamma \text{'}\left(t\right)$, så är jag inte helt säker på hur man verifierar att den kovarianta derivatan är lika med 0. Att derivera funktionen är jag med på, men hur projicerar jag det på tangentplanet? Om jag skulle ha en "surface patch" för sfären skulle jag kunna beräkna partiella derivatorna i den punkten och sen kryssa dom för att se om mitt deriverade vektorfält är en multipel av normalen (och då är ju projektionen på tangentrummet 0). Men jag är tyvärr inte helt säker på hur man gör i det här fallet.

Annars är mina enda tankar hur du kommer på vektorfälten och idén att ha det generella vektorfältet som en linjärkombination av $Y^{0°}\left(t\right), Y^{0°}$. Men det kanske bara är erfarenhet och kanske jag får lära mig i en senare kurs att hitta vektorfälten explicit med hjälp av typ Christoffel-symbolerna. 

Annars så vill jag bara tacka för all hjälp. Även om jag inte är helt 100 på hur jag skulle lösa en liknande uppgift i framtiden, så har jag definitivt fått mycket mer grepp om parallelltransport, vilket jag upplevde som helt omöjligt för bara en vecka sen! 

Tack oggih! :)

Det är bra och relevanta frågor du ställer! Ofta när man pratar om matematik blir det väldigt mycket fokus på method of justification och ganska lite fokus på method of discovery, trots att båda delarna är väldigt viktiga i allt matematiskt arbete. Så det är föredömligt att du ställer frågor även av den senare typen.

Och visst, stora delar av lösningen som vi har diskuterat ovan bygger ju precis som du är inne på att vi utnyttjar geometrisk intuition för att göra kvalificerade gissningar om vad saker och ting "borde vara", som vi sedan verifierar. Detta är särskilt lätt att göra eftersom både ytan vi arbetar med, och kurvorna som vi utför parallelltransporten längs med, är väldigt enkla i det här fallet. I en mer komplicerad situation hade man antagligen behövt vara mer systematisk, och då är lokala koordinater ("surface patches") och Christoffel-symboler ett bra verktyg. Hur detta går till beskrivs ganska bra i videon som jag länkade till tidigare, men det är ju en bra bit stökigare än vad vi gjorde här, och kräver att man inte har alltför mycket fobi för långa uträkningar i Einstein-notation som jag nog tyvärr har en liten släng av... :D

(Det finns en anledning till att jag hellre håller på med topologi än geometri; se den här MSE-tråden för ett skämt som spelar på dettta, och lägg märke till Christoffel-symbolerna i den skräniga geometrifågelns sång!)

När det gäller dina mer specifika frågor så kan jag fört och främst säga att $\nabla_{\dot\gamma_2} Y^{90^\circ}$ inte kräver att vi tänker så noggrant på det här med hur man projicerar ner på tangentplanet, eftersom $Y^{90^\circ}$ ju är konstant, och därför har derivatan 0, vilket självklart även ger 0 när man projicerar. Men skulle man vara tvungen att göra något mer systematiskt så låter kryssprodukten absolut som ett rimligt verktyg att ta till!

Att göra en linjärkombination av $Y^{0^\circ}$ och $Y^{90^\circ}$ som vi gjorde ovan var bara en idé eller ett infall jag fick som kändes naturligt. Jag funderade på hur vi ville att vårt vektorfält $Y$ längs med $\gamma_2$ skulle bete sig för ett godtyckligt $\varphi$, och kände att vi vill ha någon mellanting mellan det vi får när $\varphi=0^\circ$ och när $\varphi=90^\circ$. Jag har inte på rak arm någon bra förklaring till varför det är geometriskt rimligt att ha just exakt precis den här linjärkombinationen, utan nöjde mig med att det gjorde jobbet.

Kul att höra att det har hjälpt i alla fall! Det var ett tag sedan jag läste differentialgeometri själv, så det här har varit både kul och nyttig repetition. Jag hoppas jag inte skrev något helt galet eller missledande bara... Skulle du komma på något bättre än vad vi gjorde här, eller få någon intressant input från annat håll på den här uppgiften så får du gärna säga till!

Tack!

Jag var lite taggad på att få se hur det var tänkt att vi skulle lösa den här uppgiften idag, men tyvärr så var svaret, eller "beviset" vi fick lite av en... besvikelse.

Vi tog i stort sett en cylinder som tangerar sfären i nord och sydpolen (rotera sfären lite grann bara), (så sfären var inuti cylindern och tangerade i nord och sydpolen). Sedan "klippte" vi upp cylindern i dessa punkter och rullade ut den till en rektangel och ritade ut parallell transporten av vektorn, som då har konstant vinkel $\phi$ och ser likadan ut jäms med cylindern. Sen sa vi typ att vinkeln var $2\phi$ (????), och sen var det inget mer med det...

Själv kan jag ju tycka att om det är en kurs på en lite mer grundläggande nivå, kanske sådana här uppgifter inte är så lämpliga där man inte riktigt lärt sig (eller är smart nog) att hitta vektorfälten och liknande. Det blir bara mer förvirring (hur var ovanstående ett riktigt bevis på att vinkeln var $2\phi$ mer än bara att vi tar föreläsarens ord för det?) och det kanske vore smartare att lägga tiden och energin på lämpliga uppgifter som vi förväntas kunna "lösa" på ett "riktigt" sätt. Inte för att dra ner intuition eller geometri argument, men i det här fallet kändes det mest som en bra insikt till att faktiskt kunna hitta en "riktig" lösning/bevis. 

Jag föredrar definitivt ditt bevis kan jag ju säga :)