Differentialgeometri - kurvor/plan/tangenter

Hur beräknar man avståndet från en punkt, vilken som helst, till ett givet plan?

Sedan sätter man in $\gamma \left(t\right)$ i den erhållna avståndsformeln och deriverar för att hitta extremvädren.

PATENTERAMERA skrev:

Hur beräknar man avståndet från en punkt, vilken som helst, till ett givet plan?

Sedan sätter man in $\gamma \left(t\right)$ i den erhållna avståndsformeln och deriverar för att hitta extremvädren.

Avståndet kan man väl räkna ut genom att använda projektion på planet? Bilda vektorn mellan en punkt på planet till en punkt $t$ på kurvan, projicera på planet, beräkna differensen mellan vektorerna och sedan ta normen av vektorn? Kan vi bara använda ett allmänt plans ekvation då, typ $ax+by+cz+d=0$? Kan vi använda en punkt som exempelvis $P_0=(0,0,\frac{-d}{c})$ på planet för att bilda vektorn $\gamma \left(t\right)-P_0=\left(x\right(t),y(t),z(t)+\frac{d}{c})$ som vi sedan vill projicera och fortsätta därifrån?

Jag förstår inte varför ska vi sätta in $\gamma \left(t\right)$i avståndsformeln och derivera för att hitta extremvärden? 

Tack.

Moffen skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Hur beräknar man avståndet från en punkt, vilken som helst, till ett givet plan?

Sedan sätter man in $\gamma \left(t\right)$ i den erhållna avståndsformeln och deriverar för att hitta extremvädren.

Avståndet kan man väl räkna ut genom att använda projektion på planet? Bilda vektorn mellan en punkt på planet till en punkt $t$ på kurvan, projicera på planet, beräkna differensen mellan vektorerna och sedan ta normen av vektorn? Kan vi bara använda ett allmänt plans ekvation då, typ $ax+by+cz+d=0$? Kan vi använda en punkt som exempelvis $P_0=(0,0,\frac{-d}{c})$ på planet för att bilda vektorn $\gamma \left(t\right)-P_0=\left(x\right(t),y(t),z(t)+\frac{d}{c})$ som vi sedan vill projicera och fortsätta därifrån?

Jag förstår inte varför ska vi sätta in $\gamma \left(t\right)$i avståndsformeln och derivera för att hitta extremvärden? 

Tack.

Säg att du har en punkt vars ortsvektor är x och att du har ett plan där  r är ortsvektorn till en punkt i planet och n är en enhetsnormal till planet.

Är du med på att avståndet mellan punkten x och planet blir (med projektion som du sa)

|(x - r)$\bullet$n|? Pricken betyder skalärprodukt.

I så fall blir avståndet A(t) mellan $\mathit{\gamma }\left(t\right)$och planet

A(t) = |(γ(t) - r)$\bullet$n| 

Om A(t) har ett minimum för t = t₀ så gäller att dA(t)/dt = 0 för t = t₀. Inga konstigheter hoppas jag.

$\frac{d}{dt}$|(γ(t) - r)$\bullet$n| = sgn((γ(t) - r)$\bullet$n) $\frac{d\mathit{\gamma }\left(t\right)}{dt}$$\bullet$n.

Därför har vi

sgn((γ($t_0$) - r)$\bullet$n) $\frac{d\mathit{\gamma }\left(t_0\right)}{dt}$$\bullet$n = 0

Eftersom kurvan inte skär planet så kan den första faktorn (dvs sgn(...)) inte vara noll, för då hade $\mathit{\gamma }\left(t_0\right)$ legat i planet. Därför måste den andra faktorn var noll. Det vill säga

$\frac{d\mathit{\gamma }\left(t_0\right)}{dt}\bullet$n = 0.

Det betyder att $\frac{d\mathit{\gamma }\left(t_0\right)}{dt}$ är vinkelrät mot n, dvs parallell med planet. QED

Snygg lösning!

Jag hänger med på resonemanget och lösningen, förutom att jag inte förstår hur du får fram den där avståndsformeln (du menar även minsta avståndet mellan punkten x och planet va?). Så som jag förstår det får jag det till $\left|(\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r})·\stackrel{\rightharpoonup }{n}\right|=\left|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r}\right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{n}\right|\cos \left(\theta \right)\right|=\left|\cos \theta \right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r}\right|$ eftersom vi har en enhetsnormal. Men varför är det lika med (minsta?) avståndet från punkten $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$ till planet? Vi har ju vinkeln mellan $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$och $\stackrel{\rightharpoonup }{r}$ som kan vara (enligt mig?) nästan godtycklig, så hur kommer det sig att vi får samma svar om vi byter punkten $\stackrel{\rightharpoonup }{r}$ till någon annan punkt $\widetilde{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}$ i planet?

Tack återigen, det uppskattas verkligen.

Moffen skrev:

Snygg lösning!

Jag hänger med på resonemanget och lösningen, förutom att jag inte förstår hur du får fram den där avståndsformeln (du menar även minsta avståndet mellan punkten x och planet va?). Så som jag förstår det får jag det till $\left|(\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r})·\stackrel{\rightharpoonup }{n}\right|=\left|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r}\right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{n}\right|\cos \left(\theta \right)\right|=\left|\cos \theta \right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r}\right|$ eftersom vi har en enhetsnormal. Men varför är det lika med (minsta?) avståndet från punkten $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$ till planet? Vi har ju vinkeln mellan $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$och $\stackrel{\rightharpoonup }{r}$ som kan vara (enligt mig?) nästan godtycklig, så hur kommer det sig att vi får samma svar om vi byter punkten $\stackrel{\rightharpoonup }{r}$ till någon annan punkt $\widetilde{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}$ i planet?

Tack återigen, det uppskattas verkligen.

Ja det är det minsta avtåndet mellan x och planet. Det är ju det man brukar mena om man bara säger avtståndet till planet från en punkt, annars kan man ju alltid hitta punkter i planet som ligger godtyckligt långt från x.

Moffen skrev:

Snygg lösning!

Jag hänger med på resonemanget och lösningen, förutom att jag inte förstår hur du får fram den där avståndsformeln (du menar även minsta avståndet mellan punkten x och planet va?). Så som jag förstår det får jag det till $\left|(\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r})·\stackrel{\rightharpoonup }{n}\right|=\left|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r}\right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{n}\right|\cos \left(\theta \right)\right|=\left|\cos \theta \right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r}\right|$ eftersom vi har en enhetsnormal. Men varför är det lika med (minsta?) avståndet från punkten $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$ till planet? Vi har ju vinkeln mellan $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$och $\stackrel{\rightharpoonup }{r}$ som kan vara (enligt mig?) nästan godtycklig, så hur kommer det sig att vi får samma svar om vi byter punkten $\stackrel{\rightharpoonup }{r}$ till någon annan punkt $\widetilde{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}$ i planet?

Tack återigen, det uppskattas verkligen.

Det spelar faktiskt ingen roll om vi byter r till till någon annan punkt i planet. Formeln funkar lika bra.

Notera att planets ekvation kan skrivas 

(x - r)$\bullet$n = 0. Dvs alla punkter x som har noll avstånd till planet, om man så vill.

Om r´är en annan punkt i planet så måste det därför gälla att

(r´- r)$\bullet$n = 0, dvs r´$\bullet$ n = r$\bullet$n, vilket ger

(x - r)$\bullet$ n = (x - r´)$\bullet$n,  för alla x. Så man får samma avstånd oavsett vilken punkt i planet man väljer.

Okej men det var ju bra då :)

Jag är med på att planets ekvation kan skrivas som $(\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r})·\stackrel{\rightharpoonup }{n}=0$ eftersom det kan skrivas om som:

$(\stackrel{\rightharpoonup }{x}-\stackrel{\rightharpoonup }{r})·\stackrel{\rightharpoonup }{n}=\left(\right(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0\left)\right)·\stackrel{\rightharpoonup }{n}=A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$. Men jag hänger fortfarande inte med på varför normen av detta skulle ge oss avståndet från punkten $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$ till planet givet att $\stackrel{\rightharpoonup }{r}$ är en punkt i planet.

En skalärprodukt av två vektorer $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ ger oss längden av $\mathbf{a}$:s projektion på $\mathbf{b}$ multiplicerat med $\mathbf{b}$:s längd. Om vi kikar på följande bild:

ser vi att längden av $\mathbf{a}$:s projektion på $\mathbf{b}$ är $|\mathbf{a}|\cos(\theta)$. Multiplicerat med $|\mathbf{b}|$ blir detta $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)$, d.v.s. samma sak som jag beskrev i ord ovan. På så sätt kan vi beräkna projektioners längd med hjälp av en skalärprodukt på (dock med en extra faktor av $|\mathbf{b}|$, vilket vi tar hand om genom att se till att $\mathbf{b}$ är normerad).

Hur hänger då detta ihop med avståndet till ett plan? Jo, om vi projicerar vektorn $\mathbf{x}-\mathbf{r}$ (en vektor mellan $\mathbf{x}$ och $\mathbf{r}$) på enhetsnormalen $\mathbf{n}$ får vi avståndet från planet till punkten $\mathbf{x}$. Detta är lika med skalärprodukten $|(\mathbf{x}-\mathbf{r})\cdot\mathbf{n}|$ (absolutbeloppet är bara där för att skalärprodukten kan vara negativ), eftersom $(\mathbf{x}-\mathbf{r})\cdot\mathbf{n}=|\mathbf{x}-\mathbf{r}||\mathbf{n}|\cos(\theta)=|\mathbf{x}-\mathbf{r}|\cos(\theta)$ då $|\mathbf{n}|=1$.

Du ställer även den mycket relevanta frågan hur vi kan få samma avstånd oavsett vad $\mathbf{r}$ är. När man kikar på uttrycket $|\mathbf{x}-\mathbf{r}|\cos(\theta)$ kan man tycka att värdet borde ändras om $\theta$ ändras, men man får då inte glömma att även absolutbeloppet ändras eftersom vi ändrar på $\mathbf{r}$. Det är nämligen så att ändringen i $\theta$ tar ut ändringen i $\mathbf{r}$ när vi flyttar på $\mathbf{r}$. Detta är ju inte så konstigt, eftersom vinkeln $\theta$ beror på positionen hos $\mathbf{r}$.

Grymt förklarat (och tack för fina bilder)! Jag kan inte förstå att jag helt missat detta...

Tack så mycket, det uppskattas verkligen!