Differentialekvationer som beskriver dämpad harmonisk svängning

Hej, jag undrar vad som händer när den karakteristiska ekvationen till differentialekvationen som beskriver en dämpad harmonisk svängning ger två komplexa rötter.

Vi har lärt oss på mattespecialiseringen att man kan använda eulers formel och får en lösning på formen $y = e^{a x} ((C_{1} + C_{2}) \cos (b x) + i (C_{1} - C_{2}) \sin (b x))$ . Men nu när jag vet att y är en reellvärd funktion så vet jag inte vad i:et gör där. Ska jag struntar i hela termen $i (C_{1} - C_{2}) \sin (b x)$ ?

Det står i vår lärobok att eftersom C1 och C2 kan vara komplexa så kan $(C_{1} + C_{2})$ och $i (C_{1} - C_{2})$ bli reella. Men det är konstigt, vilka begynnelsevillkor gör att C1 och C2 blir complexa?!

Man brukar göra omskrivningen att t ex $A = C_1+C_2$ och $B=C_1-C_2$ och då får direkt reella värden på A och B från begynnelsevärden. Du kan givetvis bestämma $C_1$ och $C_2$ med men då får du komplexa värden, det är inte svårt att se hur det skulle kunna se ut. Välj t ex $C_1=a+ib$ och $C_2=a-ib$ då blir $C_1+C_2 = 2a$ (reell) och $C_1-C_2 = 2ib$ (imaginär), slänger du in det i $y$ i din lösning så blir allting reellt.

Okej... Men hur kan vi vara säkra på att C1 och C2 kommer vara varandras konjugat?

Om de är varandra konjugat förstår jag hur allt blir reellt.

Om du har reella koefficienter i din diffekvation, så borde lösningarna bli ett konjugerat par, om jag inte tänker fel.

Jo, du tänker rätt. Jag var bara en smula trög

Svara

Visa senaste svar