Differentialekvationer om kondensator

Det står alltså u''+u*(1/(LC))=0.

Diffekvation av andra ordningen, så du får helt enkelt ställa upp karaktäristiska ekvationen och lösa. Börja med det och sen om du kan fortsätta därifrån

Hondel skrev :

Det står alltså u''+u*(1/(LC))=0.

Diffekvation av andra ordningen, så du får helt enkelt ställa upp karaktäristiska ekvationen och lösa. Börja med det och sen om du kan fortsätta därifrån

Men jag är osäker på hur man gör det, det vill säga hur man ställer upp karaktäristiska ekvationen. 

Tack098 skrev :

Hondel skrev :

Det står alltså u''+u*(1/(LC))=0.

Diffekvation av andra ordningen, så du får helt enkelt ställa upp karaktäristiska ekvationen och lösa. Börja med det och sen om du kan fortsätta därifrån

Men jag är osäker på hur man gör det, det vill säga hur man ställer upp karaktäristiska ekvationen. 

 Byt u'' mot r^2, u' mot r^1 (=r) och u mot r^0 (=1)

Yngve skrev :

Tack098 skrev :

Visa föregående citat

Hondel skrev :

Det står alltså u''+u*(1/(LC))=0.

Diffekvation av andra ordningen, så du får helt enkelt ställa upp karaktäristiska ekvationen och lösa. Börja med det och sen om du kan fortsätta därifrån

Men jag är osäker på hur man gör det, det vill säga hur man ställer upp karaktäristiska ekvationen. 

 Byt u'' mot r^2, u' mot r^1 (=r) och u mot r^0 (=1)

Jag har försökt lösa uppgiften men lyckas inte. Genom att skriva om

u''+(u/(L*C))=0 till r^2+(1/(C*L))=0.

Fick då att r1 = 1 och r2=-1. Har jag tänkt rätt och isåfall vilket r stämmer, och hur går jag vidare därifrån?

Vad har hänt med L och C? 

Dr. G skrev :

Vad har hänt med L och C? 

Jag vet inte riktigt hur jag har tänkt, jag förstår verkligen inte uppgiften. Men om man använder r^2 + (1/(L*C))=0 får man att 

r1 = roten ur(-1/(L*C)) och r2 = -roten ur(-1/(L*C))

Vet inte vilket r som är rätt och det känns som att båda är fel.

Hej!

Differentialekvationen

    $\displaystyle u''(t) + au(t) = 0$

har den allmänna lösningen

    $\displaystyle u(t) = A_{1}e^{r_{1}t} + A_{2}e^{r_{2}t}\,$

där talen $r_{1}$ och $r_{2}$ är två olika lösningar till ekvationen

    $\displaystyle x^{2} + ax = 0\ ;$

denna ekvation kallas differentialekvationens karakteristiska ekvation.

För dig är koefficienten $a = (LC)^{-1}$ och konstanterna $A_{1}$ och $A_{2}$ bestäms av differentialekvationens randvillkor $u(0) = U_{0}$ och $i(0) = u'(0) = 0\ .$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Differentialekvationen

    $\displaystyle u''(t) + au(t) = 0$

har den allmänna lösningen

    $\displaystyle u(t) = A_{1}e^{r_{1}t} + A_{2}e^{r_{2}t}\,$

där talen $r_{1}$ och $r_{2}$ är två olika lösningar till ekvationen

    $\displaystyle x^{2} + ax = 0\ ;$

denna ekvation kallas differentialekvationens karakteristiska ekvation.

För dig är koefficienten $a = (LC)^{-1}$ och konstanterna $A_{1}$ och $A_{2}$ bestäms av differentialekvationens randvillkor $u(0) = U_{0}$ och $i(0) = u'(0) = 0\ .$

Albiki

Tack, detta var verkligen hjälpsamt! Mitt enda problem nu är att när u'' görs om till r^2, u' görs om till r och u till 1 får jag: 

r^2 + (1/LC) = 0

Vilket gör att:

r = roten ur(-1/LC) = i*roten ur(1/LC)

Har jag tänkt fel eller ska jag lösa det såhär? Men då blir ju r imaginära tal.

Hej!

Jag förstår inte varför du försöker lösa ekvationen $x^2 + a = 0.$

Kan du förklara varför du gör det trots att jag skrev att den karakteristiska ekvationen är $x^2 + ax = 0$?

Albiki

Ja, r1 och r2 blir imaginära. Du kan då skriva om de komplexa exponentialfunktionerna som sinus- och cosinusfunktioner. 

(du har löst rätt karaktäristiska ekvation.) 

Dr. G skrev :

Ja, r1 och r2 blir imaginära. Du kan då skriva om de komplexa exponentialfunktionerna som sinus- och cosinusfunktioner. 

(du har löst rätt karaktäristiska ekvation.) 

Jag vet att om man får r1 = a + i*b och r2 = a - i*b där a och b är konstanter så blir lösningen 

y = e^a * (C * cos b + D * sin b)

men vad händer när min lösning är r1 = i/roten ur(LC) och r2 = -i/roten ur(LC) ?

Du har ju a = 0, så sätt in det. 

Dr. G skrev :

Du har ju a = 0, så sätt in det. 

Tack!

a=0 ger den allmänna lösningen till u. Ska den deriveras och sedan sättas in i de andra differentialekvationerna?