Differentialekvationer med begynnelsevillkor

Hej!

Jag har klurat på nedanstående problem ett tag men får inte till det.

Frågan lyder:

Bestäm den lösning till differentialekvationen $y' = \frac{1 + y}{x^{2} + x}$ för vilken gäller y(2) = 1. För vilka x existerar lösningarna?

Jag får att $y = \frac{x}{x + 1} - 1$ . Detta stämmer dock inte. Jag har delat upp ekvationen och integrerar båda sidor sedan satt in y och x för att få fram C = 1.

$y' = \frac{1 + y}{x^{2} + x} \Leftrightarrow \frac{d y}{1 + y} = \frac{d x}{x^{2} + x}$

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \ln (1 + y) \int \frac{1}{x^{2} + x} d x = \ln x - \ln (x + 1) + c D e t t a g e r l n (1 + y) = \ln x - \ln (x + 1) + c \Leftrightarrow 1 + y = \frac{x e^{c}}{x + 1} \Leftrightarrow y = \frac{x e^{c}}{x + 1} - 1 y (- 2) = 1 g e r 1 = \frac{- 2 c}{- 1} - 1 \Rightarrow C = 1 A l l t s å y = \frac{x}{x + 1} - 1$

Välkommen till Pluggakuten!

Om du redovisar steg för steg hur du har räknat är det enklare för oss att hjälpa dig.

Svaret kan förenklas genom att du skriver ettan som ett bråk på samma nämnare.

Skaft skrev:
Svaret kan förenklas genom att du skriver ettan som ett bråk på samma nämnare.

Tack!! Missade det! Nu ser mitt svar ut som facit. Jag undrar även hur jag ska förhålla mig till ln vid integration. Jag tog bara bort absolutbeloppen vilket är fel. Hur gör jag för att det ska bli matematiskt korrekt? Även, hur tar jag reda på för vilka x lösningar existerar?

Det är två bra frågor, jag lämnade dessa i hopp att någon annan skulle hoppa in som kan ge bättre svar.

Angående x:en så ställdes samma fråga i den här tråden. I princip har det med definitionsmängd att göra, dvs. vilka x som går att använda utan att något uttryck går sönder. Division med noll sabbar uttryck, och logaritmen av negativa tal (eller noll) är också typiskt tråkigt. Din lösning y ger ju nolldivision för x=-1, så det går bort. I den andra tråden frågar man varför detta även skrotar alla x-värden större än -1, och där är jag själv osäker. Min tanke är snarare att för x>-1 finns oändligt många lösningar (utom x=0 där derivatan är odefinierad), inte inga alls... Men jag kan ha fel.

Absolutbeloppen i ln brukar jag också slarva med, men det är väl egentligen bara att införa dem när integrationen ger ln. Syftet är att bevara definitionsmängden. 1/x tillåter ju negativa x medan ln(x) inte gör det. Men pga symmetrin i 1/x kan integralens värde lika gärna beräknas med positiva x, och därför kan man "generalisera" den primitiva funktionen till ln(|x|), så fungerar den även för negativa x.

För vilka x existerar lösningarna?

Jag gjorde uppgiften igår. Tänker att det har med att man "börjar" på sidan där villkoret startade. x ≠ 0 och x ≠ -1. y(-2) börjar på den negativa sidan och därav blir det x<-1, varför det inte kan anta värden x>-1 är jag dock osäker på.

Svara

Visa senaste svar