Differentialekvationer, förskjutningsmetoden

Hej!

Jag har en fråga om lösningen av differentialekvationer genom förskjutningsmetoden.

Av vad jag vet om förskjutningsmetoden så kan man lösa en differentialekvation av t.ex andra ordningen: y’’(x) + ay’(x)+ by(x)= h(x), genom att reducera ekvationen till första ordningen så här:

(y’ -r₁y)’ - r₂(y’ - r₁y) = h(x) där r₁ och r₂ är rötter till den karakteristiska ekvationen.

Men vad händer om a och b inte är konstanter?
Hur skulle man tillämpa förskjutningsmetoden på t.ex. ekvationen:

y’’ - (1 + x²)y = x ?

Vad blir den karakteristiska ekvationen?
Tacksam för svar! :)

Jag har inte använt försskjutningsmetoden tidigare så detta var intressant.
Enligt min litteratur finns bara den karakteristiska ekvationen om koefficienterna är konstanta.

Men, om man modifierar metoden lite kan man göra framsteg.
Istället för att förskjuta $y$ med de två konstanterna $r_{1}$ och $r_{2}$ , kan man försöka förskjuta den med de två, hittills okända funktionerna $f_{1}$ och $f_{2}$ .

$h (x) = (y' - f_{1} y)' - f_{2} (y' - f_{1} y)$

$= y'' - f_{1}' y - f_{1} y' - f_{2} y' + f_{2} f_{1} y$

$= y'' - (f_{1} + f_{2}) y' - (f_{1}' - f_{2} f_{1}) y$

$\Rightarrow - (f_{1} + f_{2}) = a \Rightarrow - (f_{1}' - f_{2} f_{1}) = b$

$\Rightarrow f_{2} = - (f_{1} + a) \Rightarrow f_{1}' + f_{1} (f_{1} + a) + b = 0$

Om $a$ och $b$ är konstanta räcker det med en konstant $f_{1}$ för att lösa detta.
Då blir $f_{1}' = 0$ och ekvationen ovan blir den karakteristiska.
Annars är detta en differentialekvation som är olinjär i $f_{1}$ och som därför inte alltid går att lösa analytiskt.

I ditt exempel är $a = 0$ och $b = - (1 + x^{2})$ vilket ger:

$f_{1}' + {(f_{1})}^{2} = 1 + x^{2}$

Vi har därför turen att det finns en simpel lösning:

$f_{1} = x$

Med den förskjutningen borde du kunna gå vidare på egen hand.
Annars får du återkomma.

Svara