Differentialekvationer, bubbelpool

Välkommen till Pluggakuten!

Vad har du kommit fram till på a) och b), och vad har du för tanke om c)? 

Vilket resultat fick du på c? Har du någon aning om hur du ska tolka det? (Du har hjälp av svaret på c för att kunna lösa d) 

Det jag kom fram till i a) att denna funktion beskriver hur mängd klor (y) som finns poolen förändras med avseende på tiden (t).
3 innebär att det finns 3 g klor i poolen efter 30 dagar/ en månad (0,1 x 30) medan 0,5 är beskriver mängden klor som försvinner varje månad. 50% ger förändrings faktor 0,5%.

I b) fick jag C = 2 när jag satte in t = 0 och y (0) = 4 i Resultatet tolkade jag på det sättet att: Eftersom tiden är lika med noll så innebär det att det finns 4 g klor i poolen från början och 2e^-0,5t redogör för hur mycket klormassan minskar per månad.

I c) testade jag med att sätta in y = 6, y = 4, y = 8 i funktionen och resultatet visad att:
när y=6 är derivatan lika med noll
när y=4 är derivatan lika med 1
när y=8 är derivatan lika med -1

Det här var allt jag kom fram till.

Jag tycker det ser bra ut på a och b, precis som du säger.

Uppgift c består i att undersöka hur mängden klor i poolen förändras med tiden, när du startar med olika mängder vid t=0. Som du ser så kommer mängden klor att minska med tiden om du startar med 8g. Mängden kommer att öka med tiden om du startar med 4g. Och mängden kommer att stabiliseras när mängden är 6g, dvs mängdderivatan (mängdändringen) blir då noll hur lång tid som än går. Funktionen y(t) kommer alltså asymptotiskt att närma sig 6. $y(t=\infty )=6$. Att mängden asymptotiskt kommer att stabiliseras på ett visst värde när tiden går mot oändligheten kan man förstå genom att det finns två processer (som du redovisat i a). En process där man häller i lite klor per dag, och en annan process där det försvinner klor (kanske det avdunstar eller något. Vi behöver inte veta orsaken). Vid en viss mängd kommer dessa två processer att vara lika stora, och dy/dt blir noll. Alltså, den mängd klor som du häller i per dag, kommer att bestämma vilken mängd klor som kommer att finnas i poolen efter lång tid. Uppgift d består i att inse hur detta asymtotiska sambandet ser ut.   

Med 0.1g/dygn påfyllnad kommer alltså mängden att stabiliseras till 6 gram. Du ska lista ut vilken påfyllnad som ger 4ppm koncentration (du vet poolens volym och kan därför få ut mängden y som 4ppm motsvarar).

Har du någon aning hur du kan angripa problemet?

(För tydlighetens skull. Ditt svar på a, 3’an betyder inte att det finns 3 gram klor efter 30 dagar. Det betyder att man FYLLT PÅ totalt 3 gram under dessa 30 dagar. Men samtidigt försvinner det klor som du beskriver)

JohanF skrev:

Jag tycker det ser bra ut på a och b, precis som du säger.

Uppgift c består i att undersöka hur mängden klor i poolen förändras med tiden, när du startar med olika mängder vid t=0. Som du ser så kommer mängden klor att minska med tiden om du startar med 8g. Mängden kommer att öka med tiden om du startar med 4g. Och mängden kommer att stabiliseras när mängden är 6g, dvs mängdderivatan (mängdändringen) blir då noll hur lång tid som än går. Funktionen y(t) kommer alltså asymptotiskt att närma sig 6. $y(t=\infty )=6$. Att mängden asymptotiskt kommer att stabiliseras på ett visst värde när tiden går mot oändligheten kan man förstå genom att det finns två processer (som du redovisat i a). En process där man häller i lite klor per dag, och en annan process där det försvinner klor (kanske det avdunstar eller något. Vi behöver inte veta orsaken). Vid en viss mängd kommer dessa två processer att vara lika stora, och dy/dt blir noll. Alltså, den mängd klor som du häller i per dag, kommer att bestämma vilken mängd klor som kommer att finnas i poolen efter lång tid. Uppgift d består i att inse hur detta asymtotiska sambandet ser ut.   

Med 0.1g/dygn påfyllnad kommer alltså mängden att stabiliseras till 6 gram. Du ska lista ut vilken påfyllnad som ger 4ppm koncentration (du vet poolens volym och kan därför få ut mängden y som 4ppm motsvarar).

Har du någon aning hur du kan angripa problemet?

hej igen, tackar så hemsk mycket för din förklaring. 
I c kunde jag förstå sambandet och det gick bra medan i D hänger jag inte riktigt med och undrar hur kommer  beräkning ser ut

Först, lista ut hur många gram klor är 4ppm.

det jag tänker på  är att poolen innehåller 2 m^3 vatten och för att veta vad motsvarar 4 ppm av det hela så multiplicerar jag 
2x4x10^-6 och  får 8x10^-6 m^3

Ja, du har rätt, men mängden y ska anges i gram.

I uppgift a kom du fram till att differentialekvationen då man tillsätter p gram/dygn, kan skrivas

$\frac{dy}{dt}=30p-0.5y$

Hur ser lösningen till den differentialekvationen ut? När du vet det, kan du se till att bestämma den obekanta variabeln $n$, så att $y(t\to \infty )=den mängd klor som ger 4ppm$