Differentialekvationer bestämma alla deriverbara funktioner

Har lyckats lösa den! 

Deriverar vi båda led med avseende på $x$ får vi:

$f'(x+y)=f'(x)$

Vad måste då $f'(x)$ vara?

En annan intressant observation är att ekvationen i b) egentligen är samma ekvation som i a), eftersom vi kan logaritmera båda led i b) och få

$f(x+y)=f(x)f(y)$

$\ln(f(x+y))=\ln(f(x))+\ln(f(y))$

Om vi nu låter $g(t)=\ln(f(t))$ får vi:

$g(x+y)=g(x)+g(y)$

och på så sätt kan vi lösa ekvationen i b), bara vi vet lösningarna till ekvationen i a).

EDIT: Såg inte att du löst den själv. Nå ja, det jag skrev kanske gav någon liten insikt i alla fall. :-)

För övrigt har denna funktionalekvation ett namn. Den kallas för Cauchys funktionalekvation (eller Cauchy Functional Equation på engelska).

Snyggt AlvinB!!! Din lösning för b) var klart snyggare än min, tack för att du noterade att b och a är samma!!! Såg inte det, löste b på ett annat sätt.