Differentialekvationer av första ordningen
Hej, jag ska lösa vad y är från ekvationen: y' + 2y = 6x^2 - 1 +2cos(x) - 5sin(x), med y(0) e
Jag ska lösa det algebraiskt först och sedan mha euler frammåt.
Jag fick ut homogena delen Yh = Ce^(-2x) och har försökt få fram partikulär lösningen genom att anta att y = ax^2 + b + acos(x) + bcos(x) - asin(x) - bsin(x).
Deriverade y och förenklade 2y och fick:
2ax - asinx - bsinx - acosx - bcosx + 2ax^2 + 2b +2acosx +2bcox + 2bcosx - 2asinx - 2bsinx.
Jag behöver väl fortfarande få ut vad a och b är för att få ut partikulär lösningen? Hur ska jag gå vidare eller har jag tänkt fel?
Tycker din ansats ser lite konstig ut. Jag skulle prova med
y = ax^3 + bx^2 +cx + d + ecos(x)+fsin(x)
Varför antar man att y = ax^3 i din ansats? I ekvationen är inget upphöjt till 3.
Då får jag 3ax + 4bx + c - esinx + fcosx + 2cx + 2d + 2ecosx + 2fsinx. Hur får jag a,b,c,d?
Du får väl 3ax^2+2bx+c-esin(x)+fcos(x)+2ax^3+2bx^2+2cx+2d+2ecos(x)+2fsin(x)=6x^2-1+2cos(x)-5sin(x)
Men du har rätt att x^3 termen var onödig i ansatsen.
Hur får jag ut a, b, c och d?
Fys02 skrev:Hur får jag ut a, b, c och d?
Vi ändrar ansatsen till ax^2+bx+c+dsin(x)+ecos(x)
Vi får:
2ax+b-dsin(x)+ecos(x)+2ax^2+2bx+2c+2dcos(x)+2esin(x)=6x^2-1+2cos(x)-5sin(x)
Vi samlar liknande termer:
x^2(2a-6)+x(2a+2b)+2c-1+sin(x)(-d+2e-5)+cos(x)(e+2d+2)=0
=> 2a=6, 2a+2b=0, 2c=1,-d+2e=5,e+2d=-2
=> a=3, osv.
I din beräkning y' av ansatsen ax^2 + bx + c + dsin(x) + ecos(x) har du skrivit att tex derivatan av dsin är -dsinx, ska inte det vara yup dcosx och ecos(x) vara - esin(x)?
Jag provade ansatsen: y = ax^2 + bx + c + dsin(x) + ecos(x) och fick det till:
x^2(2a-6) + x(2a + 2b) + 2c - 1 + sinx(3e + 5) + cosx(d - 2) = 0, fick a = 3, b = 3, e = -5/3, c = -1/2
Stoppade in det i vår ansats och fick det till 3x^2 + 3x + 2sinx -5/3cosx - 0,5
y = Yh + Yp = Ce^-2x + 3x^2 + 3x +2sinx - 5/3cosx - 0,5
Stoppade in det i wolfram alpha för att dubbelkolla och där fick den: y(x) = Ce^(-2 x)+3x^2-3 x - (8 sin(x))/5 + (9 cos(x))/5 + 1
Får inte riktigt samma svar, det får mig att tro att min c och d är fel. Eller är det ansatsen?
Jag har visst gjort två fel. Så här ska det vara
x^2(2a-6)+x(2a+2b)+2c-1+sin(x)(-d+2e+5)+cos(x)(e+2d-2)=0
2a=6 => a=3
2a+2b=0 => b =-3
2c=1 => c=1/2
-d+2e=-5(1)
e+2d=2(2)
2*(1)+(2) =>
-2d+4e+e+2d=-10+2=-8
=>e=-8/5
=> 2d = 2+8/5=>d=9/5
Stämmer nästan med Wolfram. Men fanns det ett villkor också y(0)=?
Ja, villkoret var y(0) = e
men jag antar att det är bara stoppa in det i formeln för att få ut vad C är
Fys02 skrev:Ja, villkoret var y(0) = e
men jag antar att det är bara stoppa in det i formeln för att få ut vad C är
Ja.
Jag hade gjort fel ovan. b+2c=-1 ska det vara b = -3 => -3 +2c = -1 => c=1
Lite förvirrande att ha lilla c och stora C men det fungerar.
