Differentialekvationer av första ordning

Det stämmer inte riktigt. Skriv den först på form $y'+p(x)y=q(x)$.

Och ta sedan reda på din integrerande faktor.

Notera också att atan(x)e^(atanx) inte har en elementär primittiv funktion.

Bifoga gärna alla dina steg så blir det enklare att se vad det är du gjort.

Dracaena skrev:

Det stämmer inte riktigt. Skriv den först på form $y'+p(x)y=q(x)$.

Och ta sedan reda på din integrerande faktor.

Notera också att atan(x)e^(atanx) inte har en elementär primittiv funktion.

Bifoga gärna alla dina steg så blir det enklare att se vad det är du gjort.

Såhär har jag gjort (från andra steget):

2. $y\text{'}-\frac{2xy}{\sqrt{1+x^2}}=arc\tan \left(x\right)$

3. Utgår från formeln $y = \frac{1}{e^{G\left(x\right)}}\int h\left(x\right)e^{G\left(x\right)}$

Jag såg precis att jag gjort ett slarvfel vid detta steg, men fastnar ändå på detta steg:

4. $y =\hspace{0.17em}\frac{1}{e^{2\sqrt{x^2+1}}}\int arc\tan \left(x\right)*e^{2\sqrt{x^2+1}}$

Använd dig av den integrerande faktorn så att du sedan kan skriva om VL som en produktregel, dvs 

$\frac{d}{dx}\left[p\left(x\right)y\right]=p\left(x\right)y\text{'}+p\text{'}\left(x\right)y$, där detta HL är den form vi vill att vår ekvations VL ska ha.

MathematicsDEF skrev:

Använd dig av den integrerande faktorn så att du sedan kan skriva om VL som en produktregel, dvs 

$\frac{d}{dx}\left[p\left(x\right)y\right]=p\left(x\right)y\text{'}+p\text{'}\left(x\right)y$, där detta HL är den form vi vill att vår ekvations VL ska ha.

Förstår inte riktigt vad du menar, arctan(x) kommer väl försvinna ifall jag gör såhär? Integrerande faktor är 2x/(sqrt(1+x^2))

mekatronik skrev:

MathematicsDEF skrev:

Använd dig av den integrerande faktorn så att du sedan kan skriva om VL som en produktregel, dvs 

$\frac{d}{dx}\left[p\left(x\right)y\right]=p\left(x\right)y\text{'}+p\text{'}\left(x\right)y$, där detta HL är den form vi vill att vår ekvations VL ska ha.

Förstår inte riktigt vad du menar, arctan(x) kommer väl försvinna ifall jag gör såhär? Integrerande faktor är 2x/(sqrt(1+x^2))

Det ska väl inte vara roten ur någonstans? Det första vi gör är ju att dela allt med (1+x^2) för att få bort grejen framför y' i vår differentialekvation. När vi gör det så kommer vi få -2x/(1+x^2) framför y, detta blir ju vårt p(x). För att få fram den integrerande faktorn så måste vi ta e upphöjt till integralen av p(x) och det är detta vi multiplicerar båda ledena med för att få VL till en produktregel. Det spelar ingen roll om arctan(x) försvinner eller inte.

MathematicsDEF skrev:

mekatronik skrev:

Visa föregående citat

MathematicsDEF skrev:

Använd dig av den integrerande faktorn så att du sedan kan skriva om VL som en produktregel, dvs 

$\frac{d}{dx}\left[p\left(x\right)y\right]=p\left(x\right)y\text{'}+p\text{'}\left(x\right)y$, där detta HL är den form vi vill att vår ekvations VL ska ha.

Förstår inte riktigt vad du menar, arctan(x) kommer väl försvinna ifall jag gör såhär? Integrerande faktor är 2x/(sqrt(1+x^2))

Det ska väl inte vara roten ur någonstans? Det första vi gör är ju att dela allt med (1+x^2) för att få bort grejen framför y' i vår differentialekvation. När vi gör det så kommer vi få -2x/(1+x^2) framför y, detta blir ju vårt p(x). För att få fram den integrerande faktorn så måste vi ta e upphöjt till integralen av p(x) och det är detta vi multiplicerar båda ledena med för att få VL till en produktregel. Det spelar ingen roll om arctan(x) försvinner eller inte.

Ursäkta, jag som var lite trött idag och blanda ihop uppgifterna.

Den integrerade faktorn bör då bli $e^{-\ln (1+x^2)}$= -(1+x^2).

Hur använder jag formeln du angav med faktorn? Vi har nämligen en annan formel i vår bok men den förklarar inte stegen så bra för att få fram y (du får gärna visa exempel ifall du har lust)

Väldigt nära, om vi har $e^{-\ln (1+x^2)}$så kan vi skriva om det som $e^{\ln \left( {\left(1+x^2\right)}^{-1} \right)}={\left(1+x^2\right)}^{-1}=\frac{1}{1+x^2}$eftersom att:

$\ln \left(A^x\right)=x\ln \left(A\right)$ och  $e^{\ln \left(x\right)}=x$

Så vår integrerande faktor blir då $\frac{1}{1+x^2}$. När vi har multiplicerat detta på båda ledena så ska vi kunna skriva om VL som en omvänd produktregel, vi får alltså två termer där ena innehåller y' och den andra innehåller bara y, ena innehåller $\frac{1}{1+x^2}$och andra termen innehåller dess derivata, detta är ju exakt vad produktregeln säger:

$\frac{d}{dx}\left[f*g\right]=f\text{'}g+g\text{'}f \Rightarrow f*g=\int f\text{'}g+g\text{'}f dx$

Så när vi integrerar båda sidorna så kommer derivatan (produktregeln) och integralen "ta ur varandra" då det är motsatta operationer, och det enda som kvarstår då är y samt någon funktion av x och då kan vi lösa för y.

MathematicsDEF skrev:

Väldigt nära, om vi har $e^{-\ln (1+x^2)}$så kan vi skriva om det som $e^{\ln \left( {\left(1+x^2\right)}^{-1} \right)}={\left(1+x^2\right)}^{-1}=\frac{1}{1+x^2}$eftersom att:

$\ln \left(A^x\right)=x\ln \left(A\right)$ och  $e^{\ln \left(x\right)}=x$

Så vår integrerande faktor blir då $\frac{1}{1+x^2}$. När vi har multiplicerat detta på båda ledena så ska vi kunna skriva om VL som en omvänd produktregel, vi får alltså två termer där ena innehåller y' och den andra innehåller bara y, ena innehåller $\frac{1}{1+x^2}$och andra termen innehåller dess derivata, detta är ju exakt vad produktregeln säger:

$\frac{d}{dx}\left[f*g\right]=f\text{'}g+g\text{'}f \Rightarrow f*g=\int f\text{'}g+g\text{'}f dx$

Så när vi integrerar båda sidorna så kommer derivatan (produktregeln) och integralen "ta ur varandra" då det är motsatta operationer, och det enda som kvarstår då är y samt någon funktion av x och då kan vi lösa för y.

Tack!