Differentialekvationer!

Behöver hjälp med dessa uppgift!

Om någon av er kan bara någon av dessa uppgifter så vore det toppen. Har ingen aning om vart jag ska börja och behöver lösa dessa uppgifter så snart som möjligt.

Tack så mycket!!

1. För alla punkter på kurvan y=f(x) gäller att tangenten i (x,f(x)) också går genom punkten (x-2,0). Bestäm alla funktioner f som uppfyller detta.

2. Bestäm y(1) med tre decimalers nogrannhet, givet att lösningskurvan går genom origo
och att y′ = cos y.

3. Du har differentialekvationen y'' + ay' + 2y = 2x + 1 . Man vet att den
karakteristiska ekvationen ger en dubbelrot och lösningen till diffekvationen uppfyller
villkoren y(0)= 1 och y'(0)= 2 . Lös uppgiften analytiskt.

A) Bestäm a som ger en dubbelrot i den karakteristiska ekvationen och uttryck
diffekvationen/diffekvationerna.

B) Bestäm partikulärlösningen till den inhomogen diffekvationen.

4. I en roterande tank finns 47,5 liter vatten och 2,5 liter salt väl blandat. Vid
experimentets start tillförs en blandning av salt och vatten med den konstanta
hastigheten 2,5 liter/min. Initialt strömmar salt in med en hastighet av 1,2 liter/min, men denna hastighet avtar med 26 % per minut. Resten av
inflödet är alltså vatten. Ut ur tanken strömmar väl blandat salt och vatten med
hastigheten 2,5 liter/ minut.

Hur mycket salt innehåller tanken som mest, och när sker detta?
Algebraisk lösning krävs.

5. En kopp med rumstempererat vatten ställs i en ugn med temperaturen 100°C.
Vattnets temperaturökning i °C/min är proportionell mot skillnaden mellan
vattentemperaturen och omgivningen. Precis när muggen ställs in ökar temperaturen
på vattnet momentant med 10°C/min.

A) Hur lång tid tar det enligt modellen för vattnet att ungefär få temperaturen 95°C ?

B) Efter 15 min slås ugnen av. Temperaturen i ugnen minskar då också proportionellt
mot skillnaden mot rummets temperatur och efter ytterligare 30 min är
temperaturen i ugnen 40°C. (Du behöver inte räkna med att vattnet i muggen
värmer upp ugnen.)
Hur varmt är vattnet i muggen då?