Differentialekvationer

Samma problem diskuterades här för ett tag sedan:

https://www.pluggakuten.se/trad/ode-320/

Denna ekvation går förvisso att lösa exakt, men det kräver ganska avancerade integreringsmetoder. Se om du känner att du förstår det vi skrev i tråden ovan, annars kanske vi bör kika på någon numerisk metod (t.ex. Eulers stegmetod).

AlvinB skrev:

Samma problem diskuterades här för ett tag sedan:

https://www.pluggakuten.se/trad/ode-320/

Denna ekvation går förvisso att lösa exakt, men det kräver ganska avancerade integreringsmetoder. Se om du känner att du förstår det vi skrev i tråden ovan, annars kanske vi bör kika på någon numerisk metod (t.ex. Eulers stegmetod).

jag tror inte att jag ska lösa den här uppgiften på det sättet eftersom att vi aldrig har gått igenom den metoden. Har sett i en annan uppgift där man har fått en liknande ekvation att man kan använda Eulers stegmetod. Så jag tror att jag ska få fram det genom Eulers Stegmetod men vet inte riktigt hur

Eulers stegmetod går ut på att vi delar upp kurvan i ett antal segment utgjorda av linjära funktioner. Eftersom vi har en differentialekvation kan vi räkna ut derivatan ungefärligt i varje punkt, och på så sätt bestämma linjernas lutningar. Observera dock att ju längre linjesegment vi har, desto sämre approximerar vi den riktiga kurvan. Vi vill alltså ha så kort steglängd som möjligt.

Jag visar här hur vi gör med steglängd $0,25$ (d.v.s. vi går från $t=0$ till $t=1$ i fyra steg), men jag rekommenderar dig att använda en kortare steglängd (du behöver inte heller göra beräkningarna för hand, ta gärna hjälp av Excel/Google kalkylbad om du kan!).

Det första vi vet är att $v(0)=0$. Sätter vi in det i differentialekvationen får vi att:

$v'(0)=9,82-0,5(v(0))^2=9,82$

Lutningen för vår linje mellan $t=0$ och $t=0,25$ skall alltså vara $9,82$. Vi approximerar alltså funktionen $v(t)$ med $v(t)=kt+m=9,82t+0=9,82t$ i detta intervall. Vi får då att $v(0,25)\approx9,82\cdot0,25=2,455$. Då blir derivatan:

$v'(0,25)=9,82-0,5((v(0,25))^2\approx9,82-0,5\cdot 2,455^2\approx6,8065$

Fram till nästa steg kommer funktionen alltså att ha ökat med $6,8065\cdot0,25\approx1,7016$. Vi får alltså att $v(0,5)\approx2,455+1,7016=4,1566$. Derivatan blir då:

$v'(0,5)=9,82-0,5((v(0,5))^2\approx9,82-0,5\cdot 4,1566^2\approx1,1813$

och till nästa steg $t=0,75$ kommer funktionen då ha ökat med $1,1813\cdot0,25$, o.s.v. Proceduren upprepas tills vi är framme på $t=1$, med det ungefärliga värdet $v(1)\approx4,43$. Detta kan jämföras med det riktiga värdet (framtaget med metoden i den andra tråden) på $v(1)\approx4,33$.

Här är en bild där jag försökt illustrera hur de gröna linjerna givna av Eulers stegmetod approximerar den exakta lösningen på differentialekvationen (röd kurva).